Lexikon der Mathematik: Wurzelkriterium
liefert die (absolute) Konvergenz von gewissen Reihen \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\) reeller oder komplexer Zahlen aν :
Gilt
für ein q mit 0 ≤ q< 1 und N ∈ ℕ, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)absolut konvergent (und damit konvergent).
Das Wurzelkriterium ergibt sich aus dem Majorantenkriterium unmittelbar durch Vergleich mit der geometrischen Reihe. Ergänzt wird das Kriterium gelegentlich noch durch die triviale Aussage:
Gilt \(\sqrt[n]{|{a}_{n}|}\ge 1\)unendlich oft, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)divergent.
Denn hier ist (aν) nicht einmal Nullfolge. Gelegentlich wird das Kriterium (mit Ergänzung) auch wie folgt notiert:
Die Reihe \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)ist absolut konvergent, wenn
gilt. Aus
folgt die Divergenz.
Dabei ist diese Divergenzaussage schwächer als die in der o. a. Ergänzung, wie etwa das Beispiel an = 1 (n ∈ ℕ) zeigt.
Die aufgeführten Überlegungen gelten entsprechend für Reihen mit Gliedern aus einem Banachraum.
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