Lexikon der Mathematik: Majorantenkriterium
einfaches Vergleichskriterium für Reihen, das eine Aussage macht über (absolute) Konvergenz einer gegebenen Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\):
Existiert zu ihr eine absolut konvergente Majorante (Majorante einer Reihe), so ist sie selbst absolut konvergent und damit konvergent. Dies gilt speziell für Reihen mit Gliedern in ℝ oder ℂ, allgemeiner zumindest für Reihen mit Gliedern in einem Banachraum. Abzulesen ist dies wegen
„Andersherum“ gelesen liefert das Majorantenkriterium das Minorantenkriterium.
Beispiel: Für ℕ ∋ k > 2 ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{k}}\) konvergent, denn \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\) ist eine (absolut konvergente) Majorante.
Allgemeiner gilt das Weierstraßsche Majorantenkriterium:
Es sei A ⊂ ℂ und (fn) eine Folge von Funktionen fn : A → ℂ. Weiter existiere eine Folge (Mn) reeller Zahlen derart, daß die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_{n}\)konvergiert und |fn (z)| ≤ Mn für alle z ∈ A und alle n ∈ ℕ gilt. Dann ist die Funktionenreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\)absolut und gleichmäßig konvergent auf A.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.