Green-Funktion, eine zu einem GebietG ⊂ ℂ gehörende Funktion der folgenden Art:

Es sei G ein Gebiet und z₀ ∈ G. Die Funktion g heißt Greensche Funktion des Gebietes G, wenn z₀ eine Singularität von g ist, und \begin{eqnarray}g\,:\,(G\,\cup \,{\partial }_{\infty }G)\,\text{}\,\{{z}_{0}\}\,\to \,{\mathbb{R}}\end{eqnarray} stetig ist mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist g eine in G \{z₀} harmonische Funktion.
2. Für alle z ∈ ∂_∞G gilt g(z) = 0.
3. Es existiert eine in einer Umgebung U ⊂ G von z₀ harmonische Funktion h mit \begin{eqnarray}h(z)=g(z)\,+\,\mathrm{log}\,|z\,-\,{z}_{0}|\end{eqnarray}

für z ∈ U\{z₀}.

Dabei ist ∂_∞G = ∂G, falls G beschränkt ist und ∂_∞G = ∂G ∪ {∞}, falls G unbeschränkt ist.

Falls eine Greensche Funktion von G mit Singularität an z₀ existiert, so ist sie eindeutig bestimmt und wird mit g_G(·, z₀) bezeichnet. Es gilt dann g_G(z, z₀) > 0 für z ∈ G \ {z₀} und g_G(z, z₀) → ∞ (z → z₀). Die Singularität z₀ nennt man auch Pol von g_G(·, z₀).

Es gibt Gebiete G, die keine Greensche Funktion besitzen. Ist z. B. G = {z ∈ ℂ : 0 < |z| < 1} oder G = ℂ und z₀ ∈ G, so existiert keine Greensche Funktion von G mit Pol an z₀. Falls jedoch G beschränkt ist und das Komplement ℂ\G von G keine nur aus einem Punkt bestehende Zusammenhangskomponente besitzt, so existiert zu jedem z₀ ∈ G die Greensche Funktion von G mit Pol an z₀.

Die Greensche Funktion erfüllt die Symmetriebedingung \begin{eqnarray}{g}_{G}(z,{z}_{0})={g}_{G}({z}_{0},z)\end{eqnarray} für alle z, z₀ ∈ G mit z ≠ z₀.

Eine wichtige Eigenschaft der Greenschen Funktion ist ihre konforme Invarianz, d. h. sind G, G′ Gebiete, f eine konforme Abbildung von G auf G′ und g_G(·, z₀) die Greensche Funktion von G mit Pol an z₀ ∈ G, so gilt für die Greensche Funktion g_G′ (·, f(z₀) von G′ mit Pol an f(z₀)) ∈ G′ die Formel \begin{eqnarray}{g}_{{G}^{^{\prime} }}\,(f(z),\,f({z}_{0}))={g}_{G}(z,{z}_{0})\end{eqnarray}

für alle z ∈ G \ {z₀}.

Ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, z₀ ∈ G und f_z0 diejenige konforme Abbildung von G auf \({\mathbb{E}}\) = {z ∈ ℂ : |z| < 1} mit f_z0 (z₀) = 0 und f′_z0 (z₀) > 0, so gilt g_G(z, z₀) = − log |f_z0 (z)| für z ∈ G \ {z₀}. Speziell erhält man für z₀ ∈ \({\mathbb{E}}\)\begin{eqnarray}{g}_{{\mathbb{E}}}(z,{z}_{0})=-\,\mathrm{log}\,\left|\frac{z\,-\,{z}_{0}}{1\,-\,{\bar{z}}_{0}z}\right|,\,\,\,\,\,z\,\in \,{\mathbb{E}}\,\text{}\,\{{z}_{0}\}.\end{eqnarray}.

Ist z₀ = 0, so gilt \({g}_{{\mathbb{E}}}(z,0)=-\mathrm{log}|z|\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,{z}_{0}\in {\mathbb{E}}\backslash \{0\}\).

Neben der Greenschen Funktion eines Gebietes gibt es noch den Begriff der Greenschen Funktion einer kompakten Menge. Dazu sei E ⊂ ℂ eine kompakte Menge und G das sog. Außengebiet von E, d. h. \(\begin{eqnarray}G\subset \hat{{\mathbb{C}}}\end{eqnarray}\) ist die Zusammenhangskomponente von \(\begin{eqnarray}\hat{{\mathbb{C}}}\backslash E\end{eqnarray}\) mit ∞∈ G. Eine Greensche Funktion von E mit Pol an ∞ ist eine stetige Funktion g: ℂ → ℝ mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist g eine in G \ {∞} harmonische Funktion.
2. Für alle z ∈ ℂ \ G gilt g(z) = 0.
3. Die Funktion h mit h(z) := g(z) − log |z| ist für |z| → ∞ beschränkt.

Falls eine Greensche Funktion von E mit Pol an ∞ existiert, so ist sie eindeutig bestimmt und wird mit g_G(·, ∞) bezeichnet. Es gilt dann g_G(z, ∞) > 0 für z ∈ G \ {∞} und g_G(z, ∞) → ∞ (z → ∞).

Es gibt kompakte Mengen E, die keine Greensche Funktion mit Pol an ∞ besitzen, z. B. E = {0}. Falls jedoch das Komplement \(\begin{eqnarray}\hat{{\mathbb{C}}}\backslash G\end{eqnarray}\) von G keine nur aus einem Punkt bestehende Zusammenhangskomponente besitzt, so existiert die Greensche Funktion von G mit Pol an ∞. Es gibt dann Konstanten a ∈ ℝ, R > 0 und M > 0 derart, daß für alle z ∈ ℂ mit |z| >R gilt \begin{eqnarray}{g}_{G}(z,\infty )=\mathrm{log}|z|\,+\,a\,+\,\varepsilon (z)\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}|\varepsilon (z)|\,\le \,\frac{M}{|z|}.\end{eqnarray}

Die Zahl a heißt Robin-Konstante von E und wird auch mit rob E bezeichnet. Es gilt e^−a = cap E, wobei cap E die Kapazität von E ist.

Weiter existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß µ_E auf E derart, daß für z ∈ ℂ gilt \begin{eqnarray}{g}_{G}(z,\infty )=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{E}\mathrm{log}\,|z\,-\,\zeta |\,{d}_{\mu E}(\zeta )\,+\,a.\end{eqnarray}

Man nennt µ_E das Equilibrium-Maß von E. Es stimmt mit dem harmonischen Maß für G an ∞ überein.

Ist G einfach zusammenhängend, d. h. ∂G zusammenhängend, so existiert genau eine konforme Abbildung f von Δ ={ w ∈ Δ : |w| > 1 } ∪ {∞} auf G mit \begin{eqnarray}f(w)=cw\,+\,{c}_{0}\,+\,\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{c}_{n}}{{w}^{n}},\,\,\,\,\,|w|\,\gt \,1\end{eqnarray} und c > 0. Dann ist c = cap ∂G, und es gilt g_G(z, ∞) = log | f⁻¹(z)| für z ∈ G \ {∞}.

Ist speziell \(E=\bar{{\mathbb{E}}},\), so gilt gilt g_G(z, ∞) = log |z| für |z| > 1.

Auch im Zusammenhang mit der Lösung von (reellen) Randwertproblemen spielen Greensche Funktionen eine große Rolle; dies wird im folgenden ausgeführt.

Eine Greensche Funktion Γ, auch Einflußfunktion genannt, ist eine Funktion, mit deren Hilfe die Lösungen von Randwertproblemen (i. allg. unter Benutzung der Greenschen Integralformeln) in Form einer Integraldarstellung explizit angegeben werden kann. Sie ist eine Grundlösung des auf dem Intervall [a, b] definierten halbhomogenen Randwertproblems, die für jedes feste ξ ∈ (a, b) die Randbedingungen erfüllt.

Die Greensche Funktion Г ist eindeutig, wenn das homogene Randwertproblem nur die triviale Lösung besitzt. Die Greensche Funktion des adjungierten Randwertproblems lautet Г^∗(x, ξ) = Г(ξ, x). Ist die Randwertaufgabe (anti-)selbstadjungiert, dann ist die Greensche Funktion (anti-)symmetrisch. Die Lösung einer halbhomogenen Randwertaufgabe L(y) = f(x), R_µ(y) = 0 (µ ∈ {1,…, n}) ist bei bekannter Greensche Funktion des zugehörigen homogenen Problems gegeben durch \begin{eqnarray}y=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\Gamma (x,\,\xi )\,f(\xi )d\xi.\end{eqnarray}

Besitzt das homogene Randwertproblem k linear unabhängige Lösungen, so ist die Lösung des inhomogenen Problems mit der verallgemeinerten Greenschen Funktion \(\tilde{\Gamma }\) wieder in der Form (1) darstellbar. Man stellt an sie die Forderung: \(\tilde{\Gamma }\) erfülle als Funktion von ξ die inhomogene Differentialgleichung \begin{eqnarray}L\tilde{\Gamma }=-\,\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{\phi }_{j}(x){u}_{j}(x).\end{eqnarray}

Hierbei sind die u_j linear unabhängige Lösungen der adjungierten Aufgabe und φ_j ein System stetiger Lösungen, die zu u_j orthonormal sind (j ∈ {1,…, k}).