Lexikon der Mathematik: Konstruktibilitätsaxiom
von ZFC unabhängiges Axiom der axiomatischen Mengenlehre, das besagt, daß die Klasse der konstruktiblen Mengen L mit der Klasse aller Mengen V identisch ist, d. h., L = V.
Die formale Definition von L benötigt einige Vorbereitung. Zunächst wird für jede Menge A und jede natürliche Zahl n eine Menge Df (A, n) definiert, mit dem Ziel, daß Df (A, n) genau aus allen n-stelligen Relationen auf A besteht, die sich durch eine auf A relativierte mengentheoretische Formel in n Variablen ausdrücken läßt (Relativierung einer mengentheoretischen Formel). Dazu wird ⋃n∈ω Df (A, n) als die kleinste Menge konstruiert, die bestimmte einfache Relationen enthält und unter Durchschnitt-, Komplement- und Projektionsbildung (entsprechend der logischen Operationen ∧, ¬, ⋁) abgeschlossen ist.
Zum Verständnis der folgenden formalen Definition der Mengen Df (A, n) ist zu beachten, daß die Menge An mit der Menge ℱ(n, A) der Abbildungen von n = {0,…, n − 1} nach A identisch ist (Verknüpfungsoperationen für Mengen).
Für jede natürliche Zahl n ∈ ω (Kardinalzahlen und Ordinalzahlen) wird definiert:
\(\text{Proj}(A,R,n):=\{s\in {A}^{n}:\mathop{\bigvee }\limits_{t\in R}(t|n=s)\}\) für jede Menge R ⊆ ⋃m≥nAm.
Diag∈(A, n, i, j) := {s ∈ An : s(i) ∈ s(j)} und Diag=(A, n, i, j) :={s ∈ An : s(i) = s(j)} für alle i,j ∈ ω mit i,j< n. Diag∈(A, n, i, j) bzw. Diag=(A, n, i, j) besteht also aus allen Elementen aus An, deren i-te Komponente in der j-ten Komponente als Element enthalten ist bzw. mit der j-ten Komponente übereinstimmt.
Hierbei handelt es sich um eine rekursive Definition bezüglich k ∈ ω.
Schließlich sei Df (A, n) := ∪k∈ω Df ′(k, A, n).
Für R, S ∈ Df (A, n) gilt dann tatsächlich, daß An \ R ∈ Df (A, n) und R ∩ S ∈ Df (A, n) sowie Proj(A, R, n) ∈ Df (A, n) für R ∈ Df (A, n + 1).
Mit Hilfe der Mengen Df (A, n) wird nun die definierbare Potenzmenge der Menge A erklärt. Sie wird mit 𝒟(A) bezeichnet. 𝒟(A) besteht aus allen Teilmengen von A, die mit Hilfe einer endlichen Anzahl von Elementen aus A durch eine auf A relativierte mengentheoretische Formel definiert werden können. Die formale Definition lautet:
das heißt, die Elemente von 𝒟(A) sind genau die Teilmengen von A, deren Elemente als letzte Komponente in (n + 1)-Tupeln auftreten, die ihrerseits zu einer Relation aus Df (A, n + 1) gehören.
Schließlich wird durch transfinite Rekursion zu jeder Ordinalzahl α eine Menge L(α) definiert: L(0) := 0, L(α + 1) := 𝒟(L(α)), L(α) := ⋃β<αL(β), falls α eine Limesordinalzahl ist. Die Klasse der konstruktiblen Mengen ist dann die Vereinigung der L(α): L := ⋃α∈ONL(α). Die Elemente von L heißen entsprechend konstruktible Mengen.
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