Cosinus hyperbolicus, eine der Hyperbelfunktionen, nämlich die durch \begin{eqnarray}\cosh x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}\end{eqnarray} für x ∈ ℝ definierte gerade und differenzierbare Funktion \begin{eqnarray}\cosh :{\mathbb{R}}\to [1,\infty ).\end{eqnarray}

Es gilt cosh′ = sinh. cosh erfüllt für x, y ∈ ℝ die Additions- und Summentheoreme \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\cosh (x\pm y) & = & \cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\\ \cosh x+\cosh y & = & 2\cosh \frac{x+y}{2}\cosh \frac{x-y}{2}\\ \cosh x-\cosh y & = & 2\sinh \frac{x+y}{2}\sinh \frac{x-y}{2}\end{array}\end{eqnarray} und die Multiplikationsformeln \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}2\cosh x\cosh y & = & \cosh (x+y)+\cosh (x-y)\\ 2\cosh x\sinh y & = & \sinh (x+y)-\sinh (x-y)\end{array}\end{eqnarray} sowie die Verdopplungs- und Halbierungsformeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\cosh 2x & = & {\sinh }^{2}x+{\cosh }^{2}x\\ {\cosh }^{2}\frac{x}{2} & = & \frac{\cosh x+1}{2}\end{array}\end{eqnarray}

Die Funktion cosh spielt in der Praxis eine wichtige Rolle. Eine an zwei Punkten in gleicher Höhe befestigte freihängende Kette hat unter dem Einfluß der Schwerkraft die Form einer sog. Kettenlinie \begin{eqnarray}y=a\cdot \cosh \frac{x}{a},\quad a\gt 0.\end{eqnarray}

Daher bezeichnet man oft auch den Graph der hyperbolischen Cosinusfunktion als Kettenlinie.

Für x ∈ ℝ hat man die Reihendarstellung \begin{eqnarray}\cosh x=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{(2n)!}.\end{eqnarray}

Es ist cosh²x = sinh²x + 1 für x ∈ ℝ, und für n ∈ ℕ gilt die der de Moivreschen Formel entsprechende Identität \begin{eqnarray}{(\cosh x\pm \sinh x)}^{n}=\cosh nx\pm \sinh nx.\end{eqnarray}

Setzt man die Hyperbelfunktionen und die trigonometrischen Funktionen in die komplexe Ebene fort, so gilt cosh iz = cos z für z ∈ ℂ. Insbesondere ist cosh : ℂ → ℂ 2πi-periodisch. Alle obigen Formeln gelten auch für komplexe Argumente.