bezüglich einer zweistelligen Relation ≤ definierte HalbordnungV, bei der zu je zwei Elementen x, y ∈ V das Supremum sup(x, y) ∈ V und das Infimum inf(x, y) ∈ V existieren.

Jedem Verband V können zwei binäre Operationen ∨ und ∧ zugeordnet werden, die für alle Elemente x, y ∈ V durch \begin{eqnarray}x\vee y=\sup (x,y)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}x\wedge y=\inf (x,y)\end{eqnarray} definiert sind. Insbesondere gilt hiermit x ∨ y = x und x ∧ y = y genau dann, wenn y ≤ x gilt. Die Operation ∨ wird Vereinigung oder Disjunktion, die Operation ∧ Durchschnitt oder Konjunktion genannt.

Es gelten die sechs folgenden Regeln, die als Verbandsaxiome bezeichnet werden.

1. ∀a, b, c ∈ V : (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
2. ∀a, b, c ∈ V : (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3. ∀a, b ∈ V : a ∧ b = b ∧ a
4. ∀a, b ∈ V : a ∧ b = b ∨ a
5. ∀a, b ∈ V : a ∨ (a ∨ b) = a
6. ∀a, b ∈ V : a ∨ (a ∧ b) = a. Die Regeln 1 und 2 heißen Assoziativgesetz, die Regeln 3 und 4 Kommutativgesetz, und die Regeln 5 und 6 Absorbtionsgesetz. Desweiteren gilt in jedem Verband das Idempotenzgesetz
7. ∀a ∈ V : a ∧ a = a
8. ∀a ∈ V : a ∨ a = a, das direkt aus dem Absorbtionsgesetz folgt.

Umgekehrt gilt auch folgende Aussage:

Gelten für eine Menge V und zwei Operationen ∧ und ∨ die Verbandsaxiome, so ist (V, ≤) mit \begin{eqnarray}a\le b:\iff a\wedge b=a\end{eqnarray}ein Verband.

Man schreibt in der Regel „(V, ≤) ist ein Verband“ oder „(V, ∧, ∨) ist ein Verband“, um zu verdeutlichen, bzgl. welcher Relation ≤ bzw. bzgl. welcher Operationen ∧ und ∨ die Menge V ein Verband ist.

Spezielle Verbände sind der Verband mit Einselement, der Verband mit Nullelement, und der vollständige Verband.

Siehe auch Verbandstheorie.