lautet: det(g_αβ) ≠ 0 ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Lie-Algebra halbeinfach ist.

Zur Notation: \({\hat{X}}_{\alpha }\) sei das Bild des Basiselements X_α der Lie-Algebra \({\mathscr{L}}\) in der adjungierten Darstellung von \({\mathscr{L}}\) auf sich. Die Komponenten von \({\hat{X}}_{\alpha }\) sind \({C}_{\alpha v}^{\mu }\).

Dann werden die metrischen Koeffizienten g_αβ definiert durch

\begin{eqnarray}{g}_{\alpha \beta }=\text{Spur(}{\mathop{X}\limits^{\frown {}}}_{\alpha }{\mathop{X}\limits^{\frown {}}}_{\beta }\text{)}={C}_{\varepsilon v}^{\mu }{C}_{\beta \mu }^{v}\end{eqnarray}