eine in einer offenen Menge D ⊂ ℂ definierte Abbildung φ, die jedem a ∈ D eine in ℂ \{a} konvergente Laurent-Reiheq_a der Gestalt \begin{eqnarray}{q}_{a}(z)=\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }\frac{{c}_{v}}{{(z-a)}^{v}}\end{eqnarray} zuordnet derart, daß der Träger \(T=\{a\in D:{q}_{a}(z)\ne 0\}\) von φ diskret und abgeschlossen in D ist, d. h. keinen Häufungspunkt in D besitzt. Jede Funktion q_a heißt ein Hauptteil in a. Existiert ein m ∈ ℕ derart, daß \({c}_{\mu }=0\) für alle μ ≥ m, so heißt q_a ein endlicher Hauptteil in a.

Jede in D bis auf isolierte Singularitätenholomorphe Funktionf definiert eine HauptteilVerteilung H( f) in D, falls man für T die Menge der isolierten Singularitäten von f und für a ∈ T als q_a den Hauptteil der Laurent-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a wählt. Ist speziell f eine in D meromorphe Funktion, so ist T die Menge der Polstellen von f, und jeder Hauptteil ist endlich.

Hauptteil-Verteilungen in D können in natürlicher Weise addiert und subtrahiert werden, und sie bilden eine additive abelsche Gruppe. Es besteht ein Zusammenhang zu Divisoren (siehe Divisorengruppe). Ist nämlich f eine in D nicht konstante, holomorphe Funktion und \({\mathfrak{d}}\) der Divisor von f, so erhält man durch \begin{eqnarray}\varphi (a):={\mathfrak{d}}(a)/(z-a)\end{eqnarray}, a ∈ D die Hauptteil-Verteilung der in D meromorphen Funktion f′/f.

Der wichtige Satz von Mittag-Leffler besagt, daß zu jeder Hauptteil-Verteilung φ in D mit Träger T eine in D \ T holomorphe Funktion f mit H(f) = φ existiert.