eine Beziehung zwischen der Gesamtkrümmung einer Fläche \( {\mathcal F} \), der geodätischen Krümmungκ_g ihrer Randkurve \({\mathscr{C}}\), und ihrem Geschlecht g.

Das Geschlecht g einer geschlossenen Fläche \( {\mathcal F} \) läßt sich anschaulich als Anzahl der, Löcher’ von \( {\mathcal F} \) beschreiben. Damit gilt:

Es sei \( {\mathcal F} \)eine reguläre Fläche des ℝ³mit einer glatten Randkurve \({\mathscr{C}}\), dO ihr Oberflächenelement (Flächeninhalt) und ds das Bogenelement von \({\mathscr{C}}\). Dann gilt\begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{ {\mathcal F} }kdO+\mathop{\oint }\limits_{{\mathscr{C}}}{\kappa }_{g}ds=2\pi.\end{eqnarray}Als Folgerung daraus erhält man für eine geschlossene Fläche von Geschlecht g: \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{ {\mathcal F} }kdO=2\pi (1-g).\end{eqnarray}

Dabei ist \({\mathscr{C}}\) beim Berechnen des Kurvenintegrals so zu durchlaufen, daß die Fläche zur Linken liegt.

Dieses Resultat wurde zuerst im Jahre 1848 von O. Bonnet publiziert. Vermutlich kannte es Gauß aber schon vorher.