Lexikon der Mathematik: Leibnizsche Regel
Formel (1) zur Berechnung höherer Ableitungen eines Produkts von Funktionen. Sie folgt induktiv aus der Produktregel und lautet
für n-mal an der Stelle a ∈ D ⊂ ℝ differenzierbare Funktionen f, g : D → ℝ; dabei ist f(0) := f gesetzt.
Die Formel gilt auch für holomorphe Funktionen, wobei man hier automatisch die beliebig häufige Differenzierbarkeit des Produkts hat; es gilt somit der Satz:
Es seien D ⊂ ℂ eine offene Menge und f,g: D → ℂ in D holomorphe Funktionen. Dann ist fg holomorph in D und somit unendlich oftkomplex differenzierbar in D. Für alle n ∈ ℕ existiert daher die n-te Ableitung von fg, und es gilt Formel (1) für alle a ∈ D und n ∈ ℕ.
Die Verallgemeinerung von (1) auf mehrere Faktoren ist
für n-mal an der Stelle a ∈ D differenzierbare Funktionen f1, …, fp.
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