Kombination der Galerkin-Methode mit dem Ritzschen Verfahren der Variationsrechnung zur Lösung linearer partieller Differentialgleichungen der Form Lu = f mit Differentialoperator L und rechter Seite f in einem Definitionsgebiet D.

In Erweiterung des Ritzschen Ansatzes muß L nicht notwendigerweise symmetrisch sein. Als Bilinearform verwendet man das L²-Skalarprodukt \begin{eqnarray}(u, v)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{D}uvdx\end{eqnarray} über D und betrachtet die sogenannte schwache Formulierung des Problems in der Form (Lu, v) = (f, v) für alle Testfunktionen v aus einem Funktionenraum V. Nach partieller Integration geht dies über in die Form a(u, v) = F(v) mit einer neuen Bilinearform a und einem Funktional F über geeigneten Funktionenräumen U und V (zumeist U = V). Die Ritz-Galerkin-Methode approximiert dann die Lösung in endlichdimensionalen Unterräumen U_n bzw. V_n.

Die Problemstellung lautet somit: Bestimme u ∈ U_n so, daß \begin{eqnarray}a(u, v)=F(v)\end{eqnarray} gilt für alle v ∈ V_n.

Die eigentliche Lösung dieser Fragestellung reduziert sich nach Wahl einer Basis (φ_i) in U_n (welche bereits die Randbedingungen erfüllen) und (ψ_i) in V_n auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der sogenannten Steifigkeitsmatrix \(A=({a}_{ij}),{a}_{ij}=a({\phi }_{i},{\psi }_{j}).\)

Die Ritz-Galerkin-Methode ist Grundlage der Finiten-Elemente-Methode.