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Lexikon der Mathematik: Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors

n-dimensionale Verteilungsfunktion, mehrdimensionale Verallgemeinerung des Begriffes der Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen.

Ist X = (X1,…,Xn) ein auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) definierter Zufallsvektor mit Werten in ℝn, so definiert man die Verteilungsfunktion FX : ℝn → [0,1] von X für alle x = (x1,…,xn) ∈ ℝn in der Regel durch FX(x):=P(X1x1,,Xnxn).Für beliebige a = (a1,…,an) und b = (b1,…,bn) mit aibi, i = 1,…,n, ist die Wahrscheinlichkeit des Intervalls (a, b] = (a1, b1] ⨉,…,⨉ (an, bn] durch P(X(a,b])=Δa1,b1Δan,bnFX(x1,,xn) gegeben, wobei die rechte Seite der Gleichung dahingehend zu verstehen ist, daß die für i = 1,…,n und beliebige Abbildungen G : ℝn → ℝ punktweise durch Δai,biG(x1,,xn)=G(x1,,xi1,bi,xi+1,,xn)G(x1,,xi1,ai,xi+1,,xn) definierten Differenzenoperatoren Δai,bi sukzessive von rechts nach links auf FX angewendet werden. Die Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors X = (X1,…,Xn) besitzt die folgenden Eigenschaften:

  • Für beliebige Vektoren a = (a1,…,an) und b = (b1,…,bn) mit aibi für i = 1,…,n gilt Δa1,b1Δan,bnFX(x1,,xn)0.
  • FX ist rechtsseitig stetig.
  • Es gilt lim(x1,,xn)(,,)FX(x1,,xn)=1undlim(x1,,xn)(y1,,yn)FX(x1,,xn)=0, wenn mindestens eine Koordinate von y = (y1,…,yn) den Wert − ∞ annimmt.Umgekehrt existiert zu jeder Abbildung F:RnR, welche die Bedingungen (i)-(iii) erfüllt, genau ein auf der σ-Algebra B(Rn) der Borelschen Mengen des ℝn definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß μF, das die Eigenschaft μF((a,b])=Δa1,b1Δan,bnF(x1,,xn) für alle a=(a1,,an)undb=(b1,,bnmitaibi,i=1,,n, besitzt.

    [1] Širjaev, A. N.: Wahrscheinlichkeit. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1988.

    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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