eine zentrale funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Für q, \(z\in {\mathbb{C}}\)mit |q| < 1 und z ≠ 0 gilt\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{q}^{{n}^{2}}{z}^{n}=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }[(1-{q}^{2n})(1+{q}^{2n-1}z)(1+{q}^{2n-1}{z}^{-1})].\end{eqnarray}

Die Laurent-Reihe\begin{eqnarray}J(z,q):=\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=-\infty }{q}^{{n}^{2}}{z}^{n}\end{eqnarray} ist für jedes \(q\in {\mathbb{C}},|q|\lt 1\) in \({{\mathbb{C}}}^{* }={\mathbb{C}}\backslash \{0\}\) konvergent und daher J(·, q) eine in \({\mathbb{C}}\) holomorphe Funktion.

Das Theorem von Jacobi liefert eine Produktdarstellung für diese Funktion. Sie heißt auch Jacobische Tripel-Produkt-Identität. Die Funktion J hängt mit der Theta-Funktion \begin{eqnarray}\vartheta (\tau, z)=\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=-\infty }{e}^{\pi i{n}^{2}\tau +2\pi inz}\end{eqnarray} zusammen, es gilt nämlich \begin{eqnarray}\vartheta (\tau, z)=J({e}^{2\pi iz},{e}^{\pi i\tau })\end{eqnarray} für \(\tau, z\in {\mathbb{C}}\) mit Im τ > 0.