Monodromie-Abbildung, Wiederkehr-Abbildung, Abbildung zur Untersuchung geschlossener Orbits eines Flusses.

Es sei ein Fluß (M, ℝ, Φ) mit einer MannigfaltigkeitM gegeben. Weiter sei γ ⊂ M ein geschlossener Orbit und x₀ ∈ γ (d. h., x₀ ist ein periodischer Punkt). Eine Hyperfläche S ⊂ M, d. h. eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1, heißt Poincaré-Schnitt für x₀, falls S ∩ γ ={x₀} und S nicht tangential an das vom Fluß erzeugte Vektorfeld F ist, d. h., für jedes x ∈ S gilt \begin{eqnarray}{T}_{x}M\,\text{=}\,\text{Span}(F(x))\,\oplus \,{T}_{x}S\text{.}\end{eqnarray} Für einen Poincaré-Schnitt S existiert eine Umgebung U ⊂ S von x₀ so, daß für jedes x ∈ U ein T(x) > 0 existiert so, daß Φ(x, T(x)) ∈ U, aber Φ(x, t) ∉ U für alle t ∈ (0, T(x)). Für jedes x ∈ U heißt dieses T(x) die Wiederkehrzeit von x. Damit wird eine Abbildung P : U → U definiert durch \begin{eqnarray}P(x)\,\,:\text{=}\,\Phi (x\text{,}\,T(x))\,\,(x\,\in \,U)\text{.}\end{eqnarray} Diese Abbildung P heißt Poincaré-Abbildung (des periodischen Punktes x₀).

Durch Iteration der Poincaré-Abbildung lassen sich Stabilitätsuntersuchungen des dynamischen Systems vornehmen. Bei Hamiltonschen Systemen wird M durch eine Energiehyperfläche des Systems ersetzt, so daß der transversale Schnitt S zu einer symplektischen Untermannigfaltigkeit der Kodimension 2 des Phasenraums und die Poincaré-Abbildung automatisch ein lokaler Symplektomorphismus werden. Das Studium von Poincaré-Abbildungen hat allgemein die Betrachtung von Abbildungsiterationen nach sich gezogen, wie zum Beispiel beim geometrischen Satz von Poincaré.