schwache Ableitung, Erweiterung des Begriff der Ableitung einer Funktion auf gewisse im ‚gewöhnlichen‘ Sinn nicht differenzierbare Funktionen, indem man als Differenzierbarkeitskriterium nicht die Existenz des Grenzwerts des Differenzenquotienten benutzt, sondern die Gültigkeit der Formel der partiellen Integration.

Im folgenden sei 𝕂 der Körper der reellen oder komplexen Zahlen, und die betrachteten Funktionen seien 𝕂-wertig. Ist Ω ein offenes Intervall in ℝ und \(f\in C(\overline{\Omega})\), so gilt für die Ableitung f′ gemäß partieller Integration \begin{eqnarray}\int\limits_{\Omega}{{f}^{\prime}\left(x \right)}\overline{\varphi \left(x \right)}\,dx=-\int\limits_{\Omega}{f\left(x \right)}\overline{{\varphi}^{\prime}\left(x \right)}\,dx\end{eqnarray} für alle Testfunktionen φ auf Ω, also für alle beliebig oft differenzierbaren Funktionen φ : Ω → 𝕂 mit kompaktem Träger \begin{eqnarray}{\rm{supp}}\,\varphi =\overline{\{x\in \Omega |\varphi (x)\ne 0\}.}\end{eqnarray} Etwa für die Betragsfunktion f := | | : Ω → ℝ und die Signumfunktion g := sgn : Ω → ℝ hat man nun ebenfalls \begin{eqnarray}\int\limits_{\Omega}{g\left(x \right)\overline{\varphi \left(x \right)\,}}dx=-\int\limits_{\Omega}{f\left(x \right)}\overline{\varphi ^\prime \left(x \right)\,}dx\end{eqnarray} für alle Testfunktionen φ auf Ω, und bezeichnet daher g als verallgemeinerte Ableitung von f.

Allgemeiner gilt für offenes Ω ⊂ ℝⁿ und m-mal stetig differenzierbares \(f\in {\mathcal{C}}(\bar{\Omega})\) für jeden Multiindex α mit |α| ≤ m für den DifferentialoperatorD^α gemäß dem Gaußschen Integralsatz \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\Omega}{D}^{\alpha}f(x)\overline{\varphi (x)}dx={(-1)}^{|\alpha |}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\Omega}f(x)\overline{{D}^{\alpha}\varphi (x)}dx\end{eqnarray} für alle Testfunktionen φ auf Ω.

Ist f ∈ L²(Ω) und α ein Multiindex, so nennt man daher g ∈ L²(Ω) verallgemeinerte α-te Ableitung von f genau dann, wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\Omega}g(x)\overline{\varphi (x)}dx={(-1)}^{|\alpha |}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\Omega}f(x)\overline{{D}^{\alpha}\varphi (x)}dx\end{eqnarray} gilt für alle Testfunktionen φ auf Ω. Die verallgemeinerte α-te Ableitung von f ist eindeutig bzgl. L²-Äquivalenz und wird mit D^(α)f bezeichnet.

Mit Hilfe verallgemeinerter Ableitungen werden die Sobolew-Räume zu Ω definiert. Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs ist die Ableitung von Distributionen.