eine Formel, mit der man durch Integration aus zwei holomorphen Funktionen f und g eine Minimalfläche in konformer Parametrisierung erhält.

Man setzt zunächst \begin{eqnarray}Z(z)=\int \frac{f(\zeta )}{2}\left(\begin{array}{c}1-{g}^{2}(\zeta )\\ i(1+{g}^{2}(\zeta )\\ 2g(\zeta )\end{array}\right)d\zeta.\end{eqnarray}

Dann ist Z eine parametrisierte isotrope Kurve, d. h., eine komplexe Kurve, deren Tangentialvektor \begin{eqnarray}{Z}^{\prime} (z)=dZ(z)/dz\end{eqnarray} die komplexe Länge Null hat.

Identifiziert man ℂ mit ℝ², indem man die komplexe Zahl z = u + iv mit dem Punkt identifiziert, der die Koordinaten (u, v) hat, so ist der Realteil \({\Phi }_{f,g}(u,v)\) von Z(u + iv) eine Minimalfläche des ℝ³ in konformer Parametrisierung.

Die Zuordnung \((f,g)\to {\Phi }_{f,g}\) ist eine bijektive Abbildung auf die Menge aller Minimalflächen in konformer Parametrisierung \((u,v)\in {{\mathbb{R}}}^{2}\to ({x}_{1}(u,v),{x}_{2}(u,v),{x}_{3}(u,v),)\in {{\mathbb{R}}}^{3}\), die die Ungleichung \begin{eqnarray}\frac{\partial {x}_{1}}{\partial u}-i\frac{\partial {x}_{1}}{\partial \upsilon }\ne i\left(\frac{\partial {x}_{2}}{\partial u}-i\frac{\partial {x}_{2}}{\partial \upsilon }\right)\end{eqnarray} erfüllen, wobei Minimalflächen, die sich nur um eine Translation unterscheiden, als identisch anzusehen sind.

Eine Umkehrabbildung erhält man wie folgt: Da x₁(u, v), x₂(u, v), x₃(u, v) harmonische Funktionen sind, existieren holomorphe Funktionen \({\varphi }_{1}(z),{\varphi }_{2}(z),{\varphi }_{3}(z)\) mit \begin{eqnarray}\mathrm{Re}({\varphi }_{k}(u+i\upsilon ))={x}_{k}(u,\upsilon )\end{eqnarray} für k ∈ {1, 2, 3} und \begin{eqnarray}{({{\varphi }^{\prime} }_{1}(z))}^{2}+{({{\varphi }^{\prime} }_{2}(z))}^{2}+{({{\varphi }^{\prime} }_{3}(z))}^{2}=0.\end{eqnarray} Setzt man \begin{eqnarray}f(z)={{\varphi }^{\prime} }_{1}(z)-i{{\varphi }^{\prime}}_{1}(z)\,\mathrm{und}\,g(z)=\frac{{{\varphi }^{\prime} }_{3}(z)}{f(z)},\end{eqnarray} so ist f(z) ≠ 0, und die aus diesen Funktionen mittels (1) gebildete isotrope Kurve stimmt bis auf konstante Summanden mit der gegebenen Kurve \(({\varphi }_{1}(z),{\varphi }_{2}(z),{\varphi }_{3}(z))\) überein.

Die erste Gaußsche Fundamentalform von Φ_{f, g} hat die Gestalt \begin{eqnarray}{\rm{I}}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^{2} & 0\\ 0 & {\lambda }^{2}\end{array}\right)\,\mathrm{mit}\,{\lambda }^{2}=\frac{{|f|}^{2}{(1+{|g|}^{2})}^{2}}{4}.\end{eqnarray} Ebenso einfach und direkt läßt sich die zweite Gaußsche Fundamentalform von Φ_{f, g} mit der Formel \begin{eqnarray}\mathrm{II}=\left(\begin{array}{ll}-\mathrm{Re}(f{g}^{\prime} ) & \mathrm{Im}(f{g}^{\prime} )\\ \mathrm{Im}(f{g}^{\prime} ) & \mathrm{Re}(f{g}^{\prime})\end{array}\right)\end{eqnarray} aus den beiden Funktionen f und g berechnen. Für die Gaußsche Krümmungk ergeben (2) und (3) den Ausdruck \begin{eqnarray}k=-{\left(\frac{4|{g}^{\prime}|}{|f|(1+{|{g}^{2}|}^{2}}\right)}^{2}.\end{eqnarray} Der durch die Parametrisierung \begin{eqnarray}{\Phi }_{f,g}(u,\upsilon )=\mathrm{Re}(Z(u+i\upsilon ))\end{eqnarray} festgelegte Einheitsnormalenvektor \({\mathfrak{n}}\) ist \begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}=\frac{1}{{|g|}^{2}+1}\left(\begin{array}{c}2\,\mathrm{Re}(g)\\ 2\,\mathrm{Im}(g)\\ {|g|}^{2}-1\end{array}\right).\end{eqnarray} Aus dieser Formel ist der folgende Zusammenhang zwischen der Gauß-Abbildung \({\mathfrak{n}}(u,v)\) der parametrisierten Fläche \({\Phi }_{f,g}(u,v)\) und der durch die holomorphe Funktion g gegebenen Abbildung g : ℝ² → ℝ² ersichtlich:

Ist σ : ℝ² → S²die inverse stereographische Projektion, so gilt \({\mathfrak{n}}(u,v)=\sigma \circ g(u,v)\).

Ein Beispiel, bei dem diese Formel, kombiniert mit einer ebenfalls nach K. Weierstraß benannten elliptischen Funktion, eine von Selbstdurchdringungen freie Minimalfläche im ℝ³ mit endlicher Totalkrümmung liefert, ist nach dem brasilianischen Mathematiker C. J. Costa benannt. Sie war nach der Ebene und dem Katenoid die dritte bekannt gewordene Minimalfläche derart einfacher Gestalt und wurde 1984 publiziert. Die isotrope Kurve Z(z) der Costa-Fläche ergibt sich mit der Darstellungformel (1) aus den Funktionen \begin{eqnarray}f(z)=\wp (z,{g}_{2,}{g}_{3})\,\mathrm{und}\,g(z)=\frac{\sqrt{2\pi {g}_{2}}}{{\wp }^{\prime}(z,{g}_{2},{g}_{3.})},\end{eqnarray} worin \begin{eqnarray}\wp (z,{g}_{2,}{g}_{3})=\frac{1}{{z}^{2}}+\displaystyle \sum _{\omega \in {\mathcal L},\omega \ne 0}\left(\frac{1}{\left(z-{\omega }\right)^{2}}+\frac{1}{{\omega }^{2}}\right)\end{eqnarray} die dem achsenparallen Gitter \( {\mathcal L} =\{\omega =a{\omega }_{1},b{\omega }_{2},;(a,b)\in {{\mathbb{Z}}}^{2}\}\) der komplexen Ebene entsprechende Weierstraßsche \(\wp \)-Funktion ist, deren Perioden ω₁ und ω₂ in diesem konkreten Fall die Werte ω₁ = 1 bzw. ω₂ = i annehmen.

Die in dieser Darstellung von ℘ auftretenden Konstanten g₂ und g₃ ergeben sich aus ω₁ und ω₂ als unendliche Summen \begin{eqnarray}{g}_{2}=60\displaystyle \sum _{\omega \in {\mathcal L},\omega \ne 0}\frac{1}{{\omega }^{4}}bzw.{g}_{3}=140\displaystyle \sum _{\omega \in {\mathcal L},\omega \ne 0}\frac{1}{{\omega }^{6}}\end{eqnarray} zu g₂ ≈ 189.0727201 und g₃ = 0.

Die Weierstraßsche ζ-Funktion ist in analoger Weise durch \begin{eqnarray}\zeta (z,{g}_{2},{g}_{3})=\frac{1}{z}+\sum _{\omega \in {\mathcal L}, \omega \ne 0}\left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{\omega }+\frac{1}{{\omega }^{2}}\right)\end{eqnarray} definiert. Sie erfüllt die Gleichung \begin{eqnarray}{\zeta }^{\prime} (z,{g}_{2,}{g}_{3})=-\wp (z,{g}_{2,}{g}_{3})\end{eqnarray} und liefert somit, wenn man vom Vorzeichen absieht, einen Ausdruck für eine Stammfunktion von \(\wp \)(z, g₂, g₃), wie er in der Weierstraßschen Darstellungsformel benötigt wird.

Schreiben wir zur Abkürzung S(z) = ζ(z, g₂, g₃) und P(z) = \(\wp \)(z, g₂, g₃), so sind die drei Komponenten Z₁(z), Z₂(z), Z₃(z) von Z(z) die folgenden meromorphen Funktionen: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{Z}_{1}(z) & =\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\pi (z-i)-S(z)+\displaystyle\frac{{\pi }^{2}(1+i)}{4{e}_{1}}\right.\\ & \left.+\displaystyle\frac{\pi }{2e_1}\left(S\left(z-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-S\left(z-\displaystyle\frac{i}{2}\right)\right)\right\},\\ {Z}_{2}(z) & =\displaystyle\frac{i}{2}\left\{-\pi (z-1)-S(z)-\displaystyle\frac{{\pi }^{2}(1+i)}{4{e}_{1}}\right.\\ & \left.-\displaystyle\frac{\pi }{2{e}_{1}}\left(S\left(z-\frac{1}{2}\right)-S\left(z-\frac{i}{2}\right)\right)\right\},\\ {Z}_{3}(z) & =\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi }}{4}\left(\mathrm{ln}\left(\frac{p(z)-{e}_{1}}{p(z)+{e}_{1}}\right)\right)-\pi i.\end{array}\end{eqnarray} Die hier auftretende Konstante e₁ hat den Wert \({e}_{1}=\wp ({\omega }_{1}/2,{g}_{2},{g}_{3})\)

[1] Gray, A.: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press, New York Washington, D.C., 1998.