Astro-Lexikon C 1

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Konstanten der Bewegung sind beim Betrachten von physikalischen Systemen von großem Interesse. Ihre Existenz vereinfacht die mathematische Behandlung des Problems sehr. Meist ergibt sich die Konstanz einer physikalischen Größe aus den Symmetrien des Systems, wie das Noether-Theorem fordert.

Eine spezielle Konstante der Kerr-Raumzeit

Eine Diskussion der Symmetrien einer Raumzeit, die im Zusammenhang mithilfe der Isometrien eine elegante Formulierung gewinnt, ist immer von Vorteil, auch bei den Raumzeiten Schwarzer Löcher. Für eine spezielle Metrik, der Kerr-Metrik, die rotierende Massen und rotierende Schwarze Löcher gut beschreibt, ergeben sich vier Erhaltungsgrößen (oder Integrale der Bewegung). Die Gesamtenergie aus der Symmetrie Stationarität, der Drehimpuls aus der Axialsymmetrie, die Masse und die so genannte Carter-Konstante. Diese 4. Konstante der Bewegung ist spezifisch für die Raumzeit rotierender Schwarzer Löcher und mit dem transversalen Impuls der Teilchen assoziiert.

Dazu verwendet man die Konstanten

Ihre Existenz sichert eine elegante Lösung der Geodätengleichung in der Kerr-Metrik über die Bewegungsintegrale. Brandon Carter fand diese Konstante 1968 aus der Separabilität der Hamilton-Jacobi-Gleichung. Ihm zu Ehren trägt sie diesen Namen. Der Hamilton-Jacobi-Formalismus ist ein mathematischer Zugang, der bereits in der klassischen Mechanik angewendet wurde und auf Variationsverfahren des Wirkungsfunktionals beruht. Das Wirkungsfunktional wird für physikalisch realisierte Bahnen minimiert!

Vom rotierenden Loch zum rotierenden Stern

Ob ein Analogon für die Carter-Konstante in der Metrik rotierender Neutronensterne existiert, ist eine offene Frage. Im August 2000 wurde die exakte (Vier-Parameter) Lösung für den Außenraum der Metrik rotierender Neutronensterne gefunden (Manko et al. 2000). Die metrischen Funktionen lassen sich mithilfe gebrochen rationaler Funktionen recht einfach formulieren. Die wesentlichen physikalischen Parameter dieser Lösung sind Masse des Neutronensterns, Drehimpuls, magnetisches Dipolmoment und Massen-Quadrupolmoment.

Der Casimir-Effekt ist nach dem Physiker Hendrick B.G. Casimir benannt, der diesen Effekt 1948 berechnet hat. Der Effekt besagt, dass zwei parallel ausgerichtete Metallplatten sich im Vakuum anziehen!

Wer schiebt denn da?

Hinter diesen fast wie Zauberei anmutenden Effekt steckt als Erklärung 'handfeste' Quantentheorie: das Quantenvakuum ist nicht völlig leer. Das elektromagnetische Feld besitzt ebenfalls eine Nullpunktsenergie (oder Vakuumfluktuationen) und entsprechend Schwingungsmoden (oder Wellenfunktion) zu diesen Energieeigenwerten. Im Vakuum zwischen den Metallplatten können jedoch nicht alle freien Schwingungsmoden (Schwingungsfrequenzen) existieren: durch den endlichen Abstand zwischen den metallenen Platten werden diejenigen Schwingungsmoden 'ausgeblendet', deren Vielfaches der Wellenlänge nicht mit dem Plattenabstand übereinstimmt. Um das zu zeigen, löst man quantenmechanisch die Schrödinger-Gleichung in einem Kasten und findet für diese Anordnung paralleler Platten weniger Schwingungsmoden als im Fall ohne Platten. Anschaulich würden Schwingungsmoden die nicht in einem Knoten auf den Plattenoberfläche enden Ladungen in den Platten verschieben, also elektrische Ströme erzeugen. Die Voraussetzung, dass es sich um ungeladene Metallplatten handeln soll ist wesentlich, weil nur sie das elektromagnetische Feld zwischen den Platten reflektieren können. Anders formuliert können zwischen den Leiterplatten nur virtuelle Photonen bestimmter Frequenz entstehen.
Die Folge dieses Defizits an Schwingungsmoden innerhalb der Platten gegenüber dem Bereich außerhalb der Plattenanordnung ist ein Quantendruck bzw. eine Casimir-Kraft von außen, der die Platten zusammenbringt. Damit ist der Casimir-Effekt ein makroskopischer Beleg der mikroskopischen Quantenfluktuationen!

Varianten der Casimir-Experimente

Experimentell wurde der Casimir-Effekt 1997 von dem amerikanischen Physiker Steve Lamoreaux mit einer geringfügig anderen Versuchsanordnung, nämlich einer Metallplatte vor einem Metallkugelsegment im Distanzbereich von 0.6 bis 6 Mikrometern verifiziert, d.h. tatsächlich gemessen! Mit dieser Anordnung konnte Lamoreaux die exakt parallele Ausrichtung der Platten umgehen, die im ursprünglichen Ansatz nötig gewesen wäre. Er verwendete ein Torsionspendel und piezo-elektrische Druckmesser, um die Casimir-Kraft zu messen. Im betrachteten Bereich betrug sie etwa 10 nN (Nanonewton), also einer Gewichtskraft wie sie eine Masse von einem Mikrogramm auf eine Unterlage ausübt.
Als Variante des klassischen Casimir-Effekts stellt sich eine Anordnung dar, wo Atomkerne in den 'Fermi-See' der Neutronen eintauchen. Die Casimir-Kräfte könnten für eine Umordnung der Atomkerne sorgen oder die Bewegung der Neutronen im Fermi-See beeinflussen, was eine Relevanz in der Kruste eines Neutronensterns oder eines Quarksterns haben könnte.
Ein anderes Beispiel sind die Fußballmoleküle C-60 (Gattung der Fullerene), die eingetaucht in den Fermi-See von Elektronen (beispielsweise in flüssiges Quecksilber) ein ähnlichen Effekt zeigen sollten (Wirzba & Bulgac 2001).

wissenschaftliche Veröffentlichungen

• Lamoreaux, S.: Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6 μm Range, Physical Review Letters 78, 5, 1997
• Wirzba, A. & Bulgac, A.: Casimir Interaction among Objects Immersed in a Fermionic Environment, Physical Review Letters 87, 120404, 2001

Die Cauchy-Fläche oder Cauchy-Horizont ist eine besondere Fläche, die im Verständnis Schwarzer Löcher eine Rolle spielt. Man definiert sie wie folgt: Eine Cauchy-Fläche ist eine Hyperfläche einer Raumzeit, die eine kausale Kurve exakt nur einmal schneiden kann.

Bitte im Klartext!

Dies bedarf sicher einiger Erklärungen: Eine Raumzeit ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist. Eine Hyperfläche zu diesem 4D-Gebilde ist deshalb dreidimensional. Im ADM-Formalismus wird die Raumzeit beispielsweise in Hyperflächen zerlegt, um numerische Relativitätstheorie betreiben zu können (3+1 Split). Mit der oben genannten kausalen Kurve meint man eine Weltlinie, also eine Kurve in der Raumzeit, die beispielsweise ein Beobachter oder ein Materieteilchen zurücklegt. Kausale Kurven sind aber nicht in die Vergangenheit fortzusetzen! Die Bedingung des 'Einmalschneidens' bedeutet also anschaulich, dass Cauchy-Flächen nur in einer Richtung durchlässig sind.

Mehr Horizonte beim Loch

Der Bezug zu Schwarzen Löchern ist der Folgende: Betrachtet man die Kerr-Lösung, die die rotierende Raumzeit Schwarzer Löcher beschreibt, so findet man beim Nullsetzen des Delta-Potentials in Boyer-Lindquist-Koordinaten im Allgemeinen zwei Lösungen dieser quadratischen Gleichung: Die eine bezeichnet man mit r₊ und kann gerade mit dem Ereignishorizont, dem äußeren Horizont Schwarzer Löcher, identifiziert werden. Die andere Lösung, r₊, ist der innere Horizont und besagte Cauchy-Fläche.

Seltsame Effekte am Cauchy-Horizont

Gelangt nun ein Beobachter auf einer Geodäte hinter den Cauchy-Horizont, so wird er Zeuge, wie die gesamte Geschichte der Außenwelt in Zeitraffer abläuft. Denn er erreicht eine Region unendlicher Blauverschiebung. Dummerweise wird er dann auch von einem energetisch betrachtet unendlichen Strahlungsblitz getroffen.
Eine seltsame Eigenschaft von Cauchy-Horizonten ist, dass sie singulär werden, wenn sie durch Objekte, die sie passieren, gestört werden. Cauchy-Horizonte sind singuläre Nullhyperflächen. Diese seltsamen Eigenschaften deuten darauf hin, dass hier die Domäne einer Quantengravitation beginnt.

Literatur:

• Chandrasekhar, S.: The Mathematical Theory of Black Holes (1983), S.214
• Townsend, P.K.: Black Holes (1997), Preprint: gr-qc/9707012

In der Astronomie kennt man Sterne, die regelmäßig ihre Helligkeit verändern. Ein spezielle Klasse dieser so genannten Veränderlichen sind die Cepheiden.

Periodisches Ausdehnen und Zusammenziehen dirigiert die Sternhelligkeit

Der Prototyp der Cepheiden heißt genau gesagt Delta-Cephei und befindet sich im Sternbild Cepheus (auch Kepheus). Diese Sterne wurden 1912 von der Astronomin Henrietta S. Leavitt entdeckt. Ebenso wie die RR Lyrae Sterne sind die Cepheiden Pulsationsveränderliche, die eine charakteristische Perioden-Leuchtkraft-Beziehung aufweisen. D.h. man kennt automatisch aus der Messung der Helligkeitsvariationsperiode die absolute Leuchtkraft. Mit der beobachteten Leuchtkraft, der scheinbaren Helligkeit, folgt über das Distanzmodul die Entfernung. Daher sind Cepheiden sehr gute Standardkerzen: sie sind gute Entfernungsindikatoren bis knapp zum Virgo-Galaxienhaufen (Entfernung 23 Mpc) und dienen so auch der Entfernungsbestimmung extragalaktischer Systeme.
Da sie intrinsisch viel heller sind als RR Lyrae Sterne, kann man sie auch bei viel größeren Entfernungen als Distanzmesser verwenden. Cepheiden werden in klassische Typ-I-Cepheiden (vergleichbar Delta-Cephei) und Typ-II-Cepheiden (eher wie W Virginis Sterne) unterschieden: Typ-I ist ebenso Population I, also jüngere Sterne, die sich in der galaktischen Scheibe befinden. Dagegen findet man Typ-II nur in den galaktischen Halos, in den Kugelsternhaufen, wie auch die RR Lyrae Sterne.

Ursachen im Sterninnern

Alle diese Pulsationsveränderliche findet man im Hertzsprung-Russell-Diagramm auf dem Instabilitätsast, oberhalb der Hauptreihe. Die Brennphasen sind auf diesem Ast instabil, so dass die Zustandsgrößen des Sterns und schließlich auch seine Helligkeit variieren.
Die Pulsation der Cepheiden kann modelliert werden, indem man eine stehende Schallwelle annimmt die durch das Sterninnere propagiert und am Kern sowie der Sternoberfläche reflektiert wird. Die Schallgeschwindigkeit ist generell abhängig von der Temperatur und der Masse der Spezies, die sie überträgt. Infolgedessen variiert die Schallgeschwindigkeit im Sterninnern. Diese einfachen Modelle führen bereits auf simple Perioden-Leuchtkraft-Beziehungen, die mit Cepheidenbeobachtungen verglichen werden können.

Diese besondere Form der Strahlung ist das optische Analogon zum akustischen Überschallknall, den jeder von Düsenjets kennt, die sich mit Überschallgeschwindigkeit bewegen. Bei einer Geschwindigkeit von 1 Mach (einfacher Schallgeschwindigkeit in Luft) bzw. einer Machzahl von 1 wird die 'Schallmauer durchbrochen' und ein Überschallknall breitet sich gut hörbar aus. Die nacheinander entlang der Flugrichtung emittierten kugelförmigen Schallwellen bilden als Einhüllende im Raum einen Kegel, den Machschen Kegel. Dieser hat einen umso kleineren Öffnungswinkel, je schneller sich das Objekt mit supersonischen Geschwindigkeiten (d.h. schneller als der Schall) durch die Luft bewegt.

Vom Schall zu Licht

Ein vergleichbares Phänomen tritt ein, wenn ein relativistisches, geladenes Teilchen ein transparentes Medium wie Wasser oder Eis durchläuft und eine höhere Geschwindigkeit hat, als die des Lichtes in diesem Medium. Dann emittiert es (analog zum obigen Beispiel der Kugelschallwellen) die Cerenkov-Strahlung. Auch hier bildet sich als Einhüllende der Machsche Kegel aus. Die Abstrahlung unter einem konstantem Winkel, dem Cerenkov-Winkel theta_C, hängt nur von der Teilchengeschwindigkeit v und der Mediumlichtgeschwindigkeit c_m ab: cos(theta_C) = c_m/v = c/(nv) mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und dem Brechungsindex n. In Wasser liegt der Cerenkov-Winkel für relativistische Myonen bei etwa 40 Grad. Ebenso lässt sich abschätzen wie viele Cerenkov-Photonen im Mittel pro Wegstrecke emittiert werden. Typische Werte sind 200 Photonen/cm.

Ausnutzung in der Teilchendetektion

Das Phänomen der Cerenkov-Strahlung nutzt man bei Hochenergieastrophysik aus, um hochenergetische Teilchen aus dem Kosmos zu messen. Das funktioniert auch bei Neutrino-Teleskopen: die Neutrinos durchqueren Materie bekanntermaßen ohne erhebliche Wechselwirkungen einzugehen, daher nennt man sie gerade schwach wechselwirkende Teilchen (siehe auch bei den 'schweren Brüdern', den WIMPs). Es gibt jedoch eine geringe Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie mit den Nukleonen der Atomkerne kollidieren und aus diesem Prozess Myonen hervorgehen. Es gibt in den Nukleon-Neutrino-Stößen zwei Möglichkeiten, wie die Sache ausgehen kann. Die Teilchenphysiker sprechen hier von zwei Zerfallskanälen: den einen nennt man NC für neutral current, weil hier keine geladenen Teilchen entstehen, nur wieder neue Neutrinos; den anderen - hier wesentlichen Kanal - nennt man CC für charged current, weil hier geladene Teilchen erzeugt werden: die Myonen. Aus Gründen der Leptonenzahlerhaltung muss bei diesen neutrino-induzierten Myonen das einlaufende Neutrino von der Myon-Familie, also ein Myon-Neutrino, sein. Zwischen den beiden Teilchenspuren von Neutrino und Myon gibt es einen leichten Versatz, der von der Neutrinoenergie E abhängt. Die mittlere Winkelabweichung beträgt (1.5 Grad)/(E/TeV)^1/2, also 1.5 Grad für ein 1 TeV-Myon-Neutrino und bereits ganze 47 Grad für ein 1 GeV-Myon-Neutrino. Je schneller ('relativistischer') sich also das Neutrino bewegt, umso geringer ist der Versatz der sekundären Reaktionsprodukte! Diese Kenntnis dient natürlich der Rekonstruktion des Ortes der Neutrino-Emitter. Ein aktuelles, brisantes Forschungsgebiet ist die UHE-Neutrinoastronomie, die ultra-hochenergetische (ultra-high energetic, kurz UHE) Neutrinos sucht, die extragalaktische Quellen, wie die AGN (vor allem Blazare), galaktische Quellen wie Mikroquasare oder (langzeitige) Gamma Ray Burster emittiert haben könnten.

Teilchenjagd am Südpol

In der Antarktis wird das riesige Eisschild als Detektormaterial und Cerenkov-Medium benutzt. Das Antarctic Muon And Neutrino Detector Array AMANDA nutzt einen 1 km³ Eisblock, auf dessen Boden, 3 km tief im Eis eine Reihe von lichtempfindlichen Detektoren (photomultiplier tubes, PMTs) angeordnet wurden. Je nachdem wie die Detektoren ansprechen, lässt sich die Myon und schließlich die Neutrinospur rekonstruieren. Schließlich deutet diese Spur auf die kosmische Quelle am Himmel. Probleme bereitet das Rauschen atmosphärischer Myonen, die bereits in der Erdatmosphäre und nicht im Eis gebildet wurden. Sie sind auch in der Regel nicht neutrino-induziert, sondern bilden sich durch die Wechselwirkung der Kosmischen Strahlung (bestehend aus einem Konglomerat aus Protonen, Alphateilchen, Elektronen etc.). Ebenso problematisch sind sekundäre Cerenkov-Emitter entlang der Myonenspur aus weiteren Zerfallsprodukten von Myonen. Erst die Reduktion der Messdaten von diesen Störeffekten wird eine sichere Lokalisierung der kosmischen Quelle gestatten.

Quellen

• AMANDA-Kollaboration in Mainz
• Dirk Pandel, Diplomarbeit, 1996

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© Andreas Müller, August 2007

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