Astro-Lexikon E 1

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Es handelt sich um ein geeignetes Koordinatensystem, dass die Koordinatensingularität nicht rotierender Schwarzer Löcher beseitigt.

Das Problem

Das Linienelement der Schwarzschild-Lösung, die statische Schwarze Löcher beschreibt, hat in seiner historisch ursprünglichen Form ('Schwarzschild-Koordinaten') eine Unzulänglichkeit: Nur für eine unendliche Koordinatenzeit würde dort der Ereignishorizont erreicht werden. Diese Schwarzschildsche Koordinatenzeit wäre daher nur für einen weit entfernten Beobachter sinnvoll, da dies seiner Eigenzeit entsprechen würde. Tatsächlich erreicht ein radial einfallender Testkörper aber in endlicher Zeit den Horizont, weshalb sich eine Koordinatentransformation zum Studium dieses Problems anbietet.

Die Lösung: eine Koordinatentransformation

Sir Arthur Eddington (1924) und später David Finkelstein (1958) haben nun die später nach ihnen benannten Eddington-Finkelstein-Koordinaten eingeführt. Die Transformationsvorschrift ist gerade in der Gleichung rechts dargestellt: die neue Zeitkoordinate v enthält die alte Zeitkoordinate t, hängt aber auch von der Radialkoordinate r ab (M ist die Lochmasse).
In dieser neuen Koordinatenzeit werden die einfallenden radialen Nullgeodäten zu Geraden. Dies liefert dann die Eddington-Finkelstein-Form der Schwarzschild-Lösung, die mathematisch die analytische Erweiterung der klassischen Schwarzschild-Lösung ist. Die Lösung in Eddington-Finkelstein-Koordinaten ist allerdings nicht mehr zeitsymmetrisch! Eine zeitumgekehrte Lösung findet man durch Einführen einer weiteren Zeitkoordinate, was radial auslaufende Geodäten zu Geraden macht. In diesem Sinne unterscheidet man die Schwarzschild-Lösung in avancierten und retardierten Eddington-Finkelstein-Koordinaten. Die folgende Gleichung stellt das Linienelement der Schwarzschild-Lösung in der avancierten Eddington-Finkelstein-Form dar. Wie man sieht, handelt man sich durch die Transformation einen Kreuzterm zwischen Zeit- und Radialkoordinate ein. Der metrische Tensor besitzt also zwei Nebendiagonalelemente.

Trennung durch Horizont

Man kann zeigen, dass die Fläche bei r = 2M (Schwarzschildradius, in geometrisierten Einheiten), die Funktion einer semipermeablen Membran zukommt, die für die avancierte Lösung nach innen und für die retardierte Lösung nach außen für Teilchen durchlässig ist! Aus diesem Grund heißt diese Fläche Ereignishorizont, da sie die Grenze aller Ereignisse darstellt, die außen noch beobachtbar sind. Die 'inneren Ereignisse' innerhalb r = 2M bleiben also jedem äußeren Beobachter verborgen.

Eddington-Leuchtkraft und Eddington-Akkretionsrate sind bedeutende Größen in der Akkretionsphysik. Sie dienen dazu, um das Vermögen einer Quelle einzuschätzen, um Materie aufzusammeln und die bei der Akkretion freiwerdende Gravitationsenergie in Form elektromagnetischer Wellen abzustrahlen. Insoweit benötigen Astrophysiker die Eddington-Grenze, um die Strahlungsleistung und das Akkretionsverhalten von Aktiven Galaktischen Kernen (AGN) wie die Quasare und Seyfertgalaxien einerseits, aber auch den Röntgendoppelsternen und Protosternen andererseits beurteilen zu können. Mit der Eddington-Relation kann auch die Masse des Materie aufsammelnden Objekts, des so genannten Akkretors, abgeschätzt werden.

Eddington-Limit: Strahlung kann den Einfall stoppen

Bei der Ableitung dieser charakteristischen Größe der Akkretionsphysik beginnt man bei der Eddington-Leuchtkraft. Die Eddington-Leuchtkraft ist diejenige Leuchtkraft, bei der der nach außen gerichtet Strahlungsdruck auf ein Volumenelement im Akkretionsfluss gerade so groß wird wie der nach innen gerichtete Gravitationsdruck. Mit anderen Worten: Eine Quelle mit einer Leuchtkraft oberhalb des Eddington-Limits bläst die Materie in der Umgebung mit der Strahlung weg und bremst oder unterbindet gar die Akkretion. Wenn der Grenzfall gerade erfüllt ist, sprechen die Astronomen von einer Quelle am Eddington-Limit. Ist die Leuchtkraft sogar noch größer, so sprechen sie von einer super-Eddington-Quelle. Entsprechend gibt es auch die sub-Eddington-Quellen, bei denen die Leuchtkraft unter der Eddington-Grenze liegt.

Und so wird's berechnet

Eine Berechnung aus dem Druckgleichgewicht von Strahlungs- und Gravitationsdruck führt auf die Gleichung für die Eddington-Leuchtkraft:

Hier sind G = 6.672 × 10^-8 cm³ g^-1 s^-2 die Gravitationskonstante, M die Masse des Akkretors, z.B. eines Schwarzen Lochs oder eines Neutronensterns, m_p = 1.6726231 × 10^-24 g bezeichnet die Protonenmasse, weil vor allem diese schweren Teilchen den Gravitationsdruck in einem Volumenelement des Stroms ausmachen, c = 29979245800 cm s^-1 ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit, σ_T ist der Wirkungsquerschnitt der Thomson-Streuung (Zahlenwert: 6.6524 × 10^-25 cm²), da der Strahlungsdruck auf das Volumenelement besonders durch Streuung der Photonen an den Elektronen hervorgerufen wird. Dabei ist erg eine sehr gebräuchliche Einheit im cgs-System für die Energie. Astrophysiker bevorzugen die Verwendung von erg gegenüber Joule.

physikalische Bedeutung

Diese erste Gleichung lädt zur Diskussion ein: Sie besagt, dass - wie man intuitiv erwarten würde - ein Akkretor größerer Masse eine größere Leuchtkraft erzeugt. Das ist plausibel, hat doch eine schwere Masse ein tieferes Gravitationspotential als eine leichte Masse. Akkretion ist nicht anderes als das Umwandeln von Gravitationsenergie in Strahlungsenergie. Plakativ gesagt, leuchtet ein akkretierender AGN heller als ein Neutronenstern. Das deckt sich auch glücklicherweise mit den astronomischen Beobachtungen.

Effizienz und Eddington-Akkretionsrate

Die Leuchtkraft mit der Dimension Energie/Zeit kann über eine Größe namens Effizienz (in folgender Gleichung ε) an eine Akkretionsrate mit der Dimension, Masse pro Zeit, koppeln. Die Effizienz macht eine Aussage darüber, wie effizient die akkretierte Masse in Strahlung umgewandelt werden kann. Ein typischer, empirischer Wert für die Effizienz ist 10% (bei schnell rotierenden Löchern kann er auch bei 42% liegen!). Korrigiert man um einen Faktor c² wird aus der Masse eine Energie und aus der Leuchtkraft eine Akkretionsrate: Aus der Eddington-Leuchtkraft wird so die Eddington-Akkretionsrate:

Die zweite Gleichung sagt aus, dass der leuchtkräftigere von zwei Quasaren auch eine höhere Akkretionsrate aufweisen muss und - aufgrund der ersten Gleichung - dass der Akkretor des leuchtkräftigeren Quasars auch massereicher ist.
In den Gleichungen wurden typische Zahlenwerte für AGN zugrunde gelegt. Theoretische Astrophysiker benutzen meist das cgs-System und geben deshalb Energien nicht in Joule, sondern in erg an. Die Gleichungen besagen nun, dass ein Quasar, bei dem Astronomen eine Leuchtkraft von 10⁴⁷ erg/s beobachten gemäß Eddingtons Argument ein supermassereiches Schwarzes Loch von 100 Mio. bis einer Mrd. Sonnenmassen beherbergen muss!

Einheitliche Sicht auf Materieaufsammler

Wie im Lexikoneintrag Akkretion besprochen wird, kann man ein vereinheitlichendes Schema vieler akkretierender Quellen schaffen, indem man beobachtete Akkretionsraten in Einheiten der Eddington-Akkretionsrate ausdrückt. Das ermöglicht die reizvolle, globale Sichtweise, dass man stellare und supermassereiche Schwarze Löcher vergleichen kann. Es stellt sich heraus, dass die Quellen zwischen verschiedenen Akkretionszuständen wechseln. Ein Musterbeispiel ist der Röntgendoppelstern Cyg X-1.

Natur mit Kontrollfunktion

Im Prinzip ist die Eddington-Leuchtkraft ein schönes Beispiel, wie die Natur Prozesse von selbst regelt. Denn eine hohe Akkretionsrate bewirkt eine hohe Leuchtkraft. Wird jedoch die Eddington-Leuchtkraft überschritten, sinkt automatisch die Akkretionsrate durch den angestiegenen Strahlungsdruck, so dass die Leuchtkraft wieder sinkt und sub-Eddington wird. Man kann sagen, dass akkretierende Objekte selbstregulierend - autoregulativ - sind.

Diese Zustandsgröße für Sterne legt eindeutig seinen Spektraltyp fest. So weisen O-Sterne eine höhere Effektivtemperatur auf, als F-Sterne oder die Sonne.

Sterne sind Wärmestrahler

Die Gleichung für die Effektivtemperatur leitet sich von dem T⁴-Gesetz der Planck-Strahler (Wärmestrahler) für einen Stern ab. Die Intensität des Schwarzen Körpers möge dabei derjenigen genügen, die der Stern an seiner Oberfläche abstrahlt. Diese folgt aus der Leuchtkraft L des Sterns über seiner Oberfläche, also dem 4π-fachen des Quadrats des Sternradius R. Die vierte Wurzel aus diesem Quotienten liefert gerade die Effektivtemperatur T_eff (das Symbol σ kennzeichnet dabei die Stefan-Boltzmann-Konstante, 5.67 × 10^-8 W m^-2 K^-4).

So liest man direkt an diesem einfachen Zusammenhang ab, dass

• bei gleicher Größe (gleichem Sternradius) der heißere Stern der leuchtkräftigere ist,
• bei gleicher Temperatur (d.h. gleichem Spektraltyp) der kleinere Stern der leuchtschwächere ist.

Die letzte Aussage ist gerade die Grundlage der Yerkes-Leuchtkraftklassen, eine Unterscheidung der Sterne in Zwerge und Riesen.
Anhand des fundamentalen Hertzsprung-Russell-Diagramms der Sterne lassen sich diese Verhältnisse hervorragend illustrieren.

Eichtheorien (engl. gauge theory) bilden ein allgemeines Konzept zur Beschreibung von Symmetrien in den Quantenfeldtheorien der vier fundamentalen Wechselwirkungen der Physik mithilfe der Gruppentheorie.

Aus Symmetrien werden Teilchen

Die Erhaltung der lokalen Eichsymmetrie erfordert Eichfelder oder Eichbosonen, die als bosonische Austauschteilchen der jeweiligen Wechselwirkung interpretiert werden. Gruppentheoretisch bezeichnet man sie als Erzeuger oder Generatoren. Die Eichbosonen haben in jeder bestimmten Quantenfeldtheorie ihren eigenen Namen bekommen: In der Quantenchromodynamik (QCD) heißen sie Gluonen; in der Quantenelektrodynamik (QED) sind es die Photonen; in der elektroschwachen Theorie sind es W⁺-, W^-- und Z-Teilchen (manchmal mit dem Oberbegriff Weakonen versehen).

geometrische Interpretation und Loops

Die Eichtheorien konnten mithilfe der Loop-Zustände geometrisch gedeutet werden (Gambini & Trias, 1981 und 1986). Eine Anwendung dieses Konzepts auf eine Quantengravitation mündete in die Loop-Quantengravitation (Rovelli & Smolin, 1988 und 1990). Loops (dt. Schleifen) sind dabei die fundamentalen Einheiten in einer quantisierten Raumzeit.

Lagrangedichte & Feldgleichungen

Prinzipiell nutzt man - wie schon einfach in der klassischen Elektrodynamik beispielhaft gezeigt werden kann - eine Eichfreiheit einer Theorie aus, um die Symmetrie zu erhalten. Mit Symmetrie ist hier die Symmetrie der Lagrangedichte gemeint. Die Lagrangedichte (Lagrangian) legt die Dynamik einer Quantenfeldtheorie fest, weil aus ihr die Bewegungsgleichungen der Theorie, die so genannten Feldgleichungen nach einer bestimmten mathematischen Prozedur folgen. Diese Gleichungen sind dann forminvariant unter den Eichtransformationen.

Diese kreisförmige Erscheinung wird durch eine Gravitationslinse hervorgerufen und kann nur mit der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) erklärt werden.

Der Visionär Einstein

Nach Einsteins Theorie vermag Masse (bzw. generell Energie) elektromagnetische Strahlung abzulenken. In der Sprache der ART bewegt sich das Licht auf der Nullgeodäte der entsprechenden gekrümmten Raumzeit, die die Masse gemäß der Einsteinschen Feldgleichungen diktiert.
Albert Einstein spekulierte bereits 1936 in einer Veröffentlichung in der Fachzeitschrift Science über die Möglichkeit, dass eine Ansammlung hoher Masse, das Licht dahinter liegender Objekte wie eine Linse ablenken könnte, so dass Mehrfachbilder ein und desselben Objekts entstehen könne. Der Einstein-Ring entsteht unter einer ganz besonderen Konstellation, nämlich wenn Hintergrundquelle, Linse und Beobachter auf einer Linie liegen. Nur dann wird das Bild in ein charakteristisch rundes Gebilde verzerrt.
Einstein war sich darüber im Klaren, dass der Effekt freilich winzig sei, und kaum eine Chance bestünde, diesen Verzerrungseffekt direkt zu beobachten. Einstein schrieb:

'Of course, there is no hope of observing this phenomenon directly.'

Doch Einsteins Linsen-Idee sollte sich Jahrzehnte später als sehr weitsichtig entpuppen, denn 1988 entdeckten Radioastronomen mit dem VLA genau die Struktur, die Einstein vorhergesagt hatte! Diese Entdeckung bei der Radioquelle 4C 05.51 zeigt das beobachtete Radiofoto bei einer Wellenlänge von 2.0 cm bzw. 15 GHz rechts (Credit: Hewitt & Turner, NRAO/VLA 1988).

Ein Zoo von Einstein-Ringen und Mehrfachbildern

In vielen beobachteten Abbildungen von Galaxienhaufen machen sich die Gravitationslinsen auch als charakteristische fadenförmige Strukturen bemerkbar. Dies sind stark verzerrte und auseinander gezogene Bilder einzelner Galaxien.
Mittlerweile entdecken die Astronomen sehr häufig Einstein-Ringe, auch in anderen Wellenlängenbereichen. Einen Ring sieht man zum Beispiel beim Quasar 1938+666. Eine typische Konstellation ist, dass ein massereicher Galaxienhaufen, das Licht dahinter liegender Objekte, beispielsweise eines Quasars, ablenkt. Nicht immer sind dabei die exakten Konstellationsbedingungen für den Einstein-Ring realisiert, so dass dann Mehrfachbilder (ohne Ring) entstehen. Beim Quasar QSO 0957+561 kommt durch den Gravitationslinseneffekt ein doppeltes Abbild ein und desselben Quasars zustande. Beim Quasar 1422+231 mit der hohen Rotverschiebung z = 3.62 beobachteten Astronomen sogar vier Quasarbilder, die durch eine massereiche elliptische Galaxie im Vordergrund gelinst werden. Dabei ist es möglich, dass die Mehrfachbilder das so genannte Einstein-Kreuz bilden, wie im Falle des Quasars QSO 2237+0305 in einer Entfernung von 8 Mrd. Lj oder z = 1.7. Hier bildeten sich vier Bilder des Quasars, die einen maximalen Abstand von 1.6" an der Himmelssphäre haben.

Linsen im Mini-Format

In so genannten Mikrolinsen sind die Linsen massearme, stellare Objekte. Hier reicht die Auflösung nicht aus, um die Verzerrung abzubilden. Allerdings kommt es während eines Linsenereignisses zu einem charakteristischen, symmetrischen Helligkeitsanstieg. Dieses Verfahren wird genutzt, um massearme, leuchtschwache Objekte im dunklen Halo von Galaxien, auch bei der Milchstraße, nachzuweisen. Die Astronomen waren sprachlich erfinderisch und nennen solche Objekte MACHOs (engl. massive compact halo objects; also: massive, kompakte Halo-Objekte). Sie vermuten, dass es sich dabei vor allem um Braune Zwerge und M-Sterne handelt.

Pionier-Papiere

• Einstein, A., Lens-like action of a star by the deviation of light in the gravitational field, Science 84, 506-507, 1936
• Hewitt, J.N. et al., Unusual radio source MG1131+0456 - A possible Einstein ring, Nature 333, 537-540, 1988

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© Andreas Müller, August 2007

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