Astro-Lexikon B 2

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Die Bekenstein-Hawking-Entropie bezeichnet einen Entropiebegriff, den man im Rahmen einer Thermodynamik bei Schwarzen Löchern definiert hat. Diese Ableitung gelang Stephen Hawking und wurde 1973 in der Publikation The Four Laws of Black Holes Mechanics veröffentlicht. Da er Bezug nahm auf Jacob D. Bekensteins Doktorarbeit (1972), wurde ihnen zu Ehren das Entropie-Analogon bei Schwarzen Löchern so genannt.

Fläche des Horizonts Schwarzer Löcher

In der Berechnung taucht eine Größe auf, die mit der kugelförmigen Oberfläche des Ereignishorizonts assoziiert werden kann:

Dabei haben die Ereignishorizonte einen Radius, der gleich dem Schwarzschild-Radius R_S ist (nicht-rotierender Fall) oder der gleich dem äußeren Horizont r⁺_H ist (rotierender Fall):

Die Oberfläche hängt im Allgemeinen sowohl von der Masse M als auch dem Drehimpuls J des Schwarzen Loches ab, so dass Schwarzschild-Lösung und Kerr-Lösung in dieser Hinsicht differieren müssen. Anschaulich ist das auch klar, denn der Radius des äußeren Horizonts r⁺_H wächst mit zunehmender Masse und abnehmendem Drehimpuls (Kerr-Löcher sind bei gleicher Masse kleiner als statische Schwarzschild-Löcher).

Entropiebegriff Schwarzer Löcher

Verschmelzen zwei Schwarze Löcher, so zeigt eine kurze Rechnung, dass die Oberfläche des neuen Horizontes größer ist, als die Summe der Flächeninhalte der einzelnen, kollidierenden Schwarzen Löcher. Das gilt auch bei den Entropien zweier verschmelzender Systeme. Die Entropie wird als proportional zu der Horizontoberfläche angenommen und führt zusammen mit dem Begriff der Hawking-Temperatur auf Analoga zu den vier Hauptsätzen der klassischen Thermodynamik. Für ein elektrisch neutrales, rotierendes Schwarzes Loch gilt:

Die Gleichung oben zeigt gerade wie man die Bekenstein-Hawking-Entropie aus der Oberfläche des Horizonts A_H berechnet. Wie die Oberfläche von Masse und Drehimpuls abhängt, zeigt die erste Gleichung in diesem Eintrag. Setzt man ein statisches, d.h. nicht rotierendes Schwarzes Loch voraus (a = J/Mc = 0) folgt eine reine Massenabhängigkeit: eine quadratische Skalierung mit der Masse:

Entropien in Zahlenbeispielen

Einsetzen typischer Skalen der Astrophysik (eine Sonnenmasse) und Teilchenphysik (1 TeV) zeigt, dass die stellaren Schwarzen Löcher gigantische Entropien aufweisen, während Minilöcher, die in modernen Teilchenbeschleunigern entstehen könnten, moderate Bekenstein-Hawking Entropien haben. Bei supermassereichen Schwarzen Löcher erwartet man entsprechend noch höhere Entropien. Diese Zahlenwerte sind rätselhaft, denn die Größenordnung von 10⁷⁷ k_B für ein stellares Schwarzes Loch passt gar nicht zu der wesentlich kleineren Entropie des Vorläufersterns. Dieses Missverhältnis nennt man Entropie-Paradox Schwarzer Löcher oder auch Informationsverlustparadoxon.

Anlass für eine legendäre Wette

Dieses Paradoxon stand im Sommer 2004 im Fokus der Weltöffentlichkeit: Auf der Konferenz GR17 in Dublin, einer Zusammenkunft der führenden Relativisten und Gravitationsforscher der Welt, gab Hawking unter großem Medieninteresse bekannt, dass er sich geirrt habe und Schwarze Löcher nicht Information vernichten können. Damit gab er eine Wette verloren, die er mit seinen Wissenschaftskollegen Kip S. Thorne und John Preskill vor dreißig Jahren abgeschlossen hat. Vor allem Preskill, ein Quantentheoretiker, hielt an einer Erhaltung der Information fest - und bekam nun nach langer Zeit Recht. Thorne ist noch indefinit und möchte sich dem komplizierten Problem widmen. Auch unter Experten ist die Frage des Informationsverlusts umstritten und bedarf weiterer Analysen.

Entropien anderer Lösungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Gravasterne als reguläre Alternative ohne Horizont lösen dieses Paradox, weil sie kleinere Entropien haben. Denn die Gravastern-Entropie wächst nur linear mit der Masse. Allerdings müssten sich die Astrophysiker dann vom Konzept Schwarzes Loch verabschieden.

Literatur:

• Dissertation von J.D. Bekenstein, Princeton University (1972)
• Originalpapier von Bardeen, Carter & Hawking, The Four Laws of Black Holes Mechanics, Commun. Math. Phys. 31, 1973, 161 - 170
• Mazur & Mottola 2001, Papier Gravitational condensate stars: An alternative to black holes, gr-qc/0109035

Die Rolle des Beobachters ist ein unverzichtbares Element in den Naturwissenschaften - vielleicht sogar das Wichtigste an den Naturwissenschaften überhaupt. Es muss zunächst einmal ein Phänomen in der Natur beobachtet werden, das man dann naturwissenschaftlich hinterfragen kann.

Ein äußerst erfolgreiches Wechselspiel

Damit ist es noch nicht getan. Der Erfolg der Naturwissenschaften gründet sich vor allem auf dem Zusammenspiel von Theorie und Experiment. Eine Beobachtung kann nämlich in Form eines mathematischen Modells verstanden werden. Für Details zur wissenschaftlichen Methodik und wie weit sie generell trägt, sei auf meinen Web-Essay Die wissenschaftliche Methode verwiesen. Außerdem gibt es einen ausführlichen Essay zum Theoriebegriff mit dem Titel Alles graue Theorie?.
Im engeren Sinne sind die Beobachter der Physik damit beschäftigt, Datenmaterial aus der Natur zu sammeln. Das heißt, sie führen ein Experiment unter Laborbedingungen (also wohlbekannten Bedingungen) durch und protokollieren präzise die Beobachtung. Beobachter entwickeln Beobachtungsapparaturen, so genannte Detektoren, die es ihnen erleichtern Daten zu sammeln. In der Astronomie heißen die Experimentatoren prinzipiell Beobachter. Sie nehmen einen Sonderstatus unter den Experimentatoren ein, weil sie ihr Experiment nicht im Labor präparieren und keinen Einfluss darauf nehmen können. Vielmehr ist der gesamte Kosmos ihr 'Labor' und die astronomischen Beobachter entwerfen und bauen die Detektoren der Astronomie: die Teleskope. Sie sammeln eine Fülle an Beobachtungsdaten mittels unterschiedlicher Informationsträger (vor allem Photonen, aber auch Neutrinos, Kosmische Strahlung und andere Teilchen), werten sie aus und bereiten sie auf. Die theoretischen Astrophysiker entwickeln physikalische Modelle für das Zustandekommen der Beobachtungsdaten. Ihre Werkzeuge sind die mathematischen Rechenvorschriften und in stark zunehmendem Maße die Computer. Am Ende steht ein Verständnis der Beobachtung, also ein wachsendes Verständnis für die Phänomene, die in der Natur beobachtet werden können. Der Astrophysiker strebt nach einem Verständnis des Kosmos als Ganzes sowie seiner Teile, z.B. der Sterne und Galaxien.

Wissenschaftliche Revolutionen des 20. Jahrhunderts

Im 20. Jahrhundert hat sich ein zweifacher Wandel für die Rolle des Beobachters ergeben. Einsteins Relativitätstheorie hat die Beobachtung als subjektiven bzw. relativen Akt entlarvt. Es hängt vom Bezugssystem (siehe auch Inertialsystem) ab, also von Ort und Bewegungszustand des Beobachters, was er beobachtet und wie er es beobachtet. Mittlerweile wurden viele relativistische Beobachter definiert, die sich bei bestimmten Fragestellungen bewährt haben. So kennt man in der Allgemeinen Relativitätstheorie z.B. den FFO, den FIDO, den LNRF und den ZAMO. Extreme Bedingungen wie die starke Gravitation eines Schwarzen Loches machen deutlich, wie sehr die Beobachtung vom Standpunkt abhängen kann. So unterscheidet sich die Geschichte, die ein entfernter Beobachter wahrnimmt deutlich von derjenigen, die ein einfallender Beobachter wahrnimmt z.B. aufgrund der Zeitdilatation! Das Zwillingsparadoxon ist ein anderes Extrembeispiel dafür, wie unterschiedlich die Beobachtungen in verschiedenen Bezugssystemen sein können.
Die zweite große physikalische Theorie des 20. Jahrhunderts, die Quantentheorie, hat dem Beobachter auf andere Weise einen Sonderstatus verpasst. Die quantenmechanischen Beobachter sind selbst ein Teil des Experiments und beeinflussen dessen Ausgang, also die Messung! Damit verlor der Beobachter seine Rolle des Außenstehenden. Diese Rolle hat er nur im Makrokosmos. Der quantenmechanische Beobachter ist nicht Präparator, er ist Manipulator.
Beide Theorien, Relativitätstheorie und Quantentheorie, haben es der Physik erschwert, die Beobachtungen sachlich zu interpretieren. Experimente unter fixen Laborbedingungen sind nur eingeschränkt möglich und die Reproduzierbarkeit eines Versuchs ist ebenfalls - zumindest in der Quantenphysik - nicht immer gewährleistet.

Eine der drei Formen von Radioaktivität neben Alpha- und Gamma-Zerfall. Bei der Radioaktivität senden bestimmte Atomkerne (Fachbegriff: Radionuklide) bestimmte Materieteilchen (Elektronen, Positronen, Heliumatomkerne, auch Neutronen) oder hochenergetische, elektromagnetische Strahlung aus. Radioaktivität ist aufgrund seiner stark ionisierenden Wirkung gefährlich für Leben! Teilweise kann Radioaktivität schon mit einfachen Mitteln abgeschirmt und somit 'entschärft' werden.

Was genau ist nun β-Zerfall?

• Beim β^--Zerfall zerfällt ein (gebundenes) Neutron im Atomkern in ein Proton, ein Elektron und ein Anti-Elektron-Neutrino (beachte Leptonenzahlerhaltung!). Hier identifiziert man die Elektronen mit der Beta-Strahlung.
• Beim β⁺-Zerfall zerfällt ein (gebundenes!) Proton im Atomkern in ein Neutron, ein Positron (dem Antiteilchen des Elektrons) und ein Elektron-Neutrino.

Die β-Strahlung hat eine höhere Reichweite als die Alpha-Strahlung, kann aber bereits durch ein dünnes Aluminiumblech abgeschirmt werden. Gefährlich ist diese Strahlung wie alle Formen von Radioaktivität dennoch!

Schwach, aber oho!

Erst durch die Quantentheorie bzw. Quantenfeldtheorie der schwachen Wechselwirkung war diese Form der Radioaktivität berechenbar und erklärbar. Bei der schwachen Kraft werden ebenfalls Botenteilchen (Eichbosonen) ausgetauscht. In beiden Formen des β-Zerfalls ändern sie die innere Struktur von Neutron bzw. Proton. Zur Erinnerung: Protonen und Neutronen sind die Teilchen, die sich im Atomkern befinden. Daher heißen sie Nukleonen. Präzise gesagt gibt es ein positiv und ein negativ geladenes W-Teilchen, die die schwache Kraft vermitteln. Werden sie ausgetauscht, so verändern sie den Quarkgehalt der Nukleonen entsprechend den Erhaltungssätzen der elektrischen Ladung etc. folgend. Die W-Teilchen nennt man in der Theorie der schwachen Wechselwirkung auch geladene Ströme (W⁺ und W^-). Daneben existiert noch der neutrale Strom (Z-Teilchen Z⁰), dessen Zerfall experimentell die Anzahl der drei Leptonengenerationen verrät.

Neutronisierung von Sternen

Der β-Zerfall kann auch in umgekehrter Reaktionsrichtung ablaufen. Dieser inverse β-Zerfall ist besonders wichtig bei extrem hohen Zentraldichten im Innern von Sternen, ab etwa 1.14 × 10⁹ g cm^-3. Praktisch ist dies nur bei den Kompakten Objekten von Relevanz, weil 'normale' Hauptreihensterne oder Protosterne diese Dichtendomäne nicht erreichen. Insbesondere findet der inverse β-Zerfall im Innern von Weißen Zwergen und vor allem Neutronensternen statt.

In der Physik werden die aus der Sicht eines Beobachters beschrieben. Der Beobachter kann das physikalische Studienobjekt 'aus der Ferne' betrachten (Laborsystem) oder er kann sich mit dem Studienobjekt bewegen (Ruhesystem). Als Bezugs- oder Referenzsystem gibt es dabei vielfältige Möglichkeiten. Zwischen diesen Systemen vermitteln mathematische Operationen, die man Transformationen nennt.
Viele Details und Beispiele für Bezugssysteme werden in den Einträgen Beobachter und Inertialsystem vorgestellt.

Die Tensoren der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) haben wie viele physikalische Tensoren bestimmte Symmetrieeigenschaften. Mit Symmetrie meint man in diesem Zusammenhang, dass eine oder mehrere Komponenten im Tensor als andere Komponenten identisch wieder auftauchen. Diese Eigenschaften sind sehr nützlich, weil man im Tensorkalkül der ART immer an sämtlichen Komponenten der Tensoren interessiert ist, um beispielsweise die Einsteinschen Feldgleichungen umzuformulieren. Bekannte Symmetrien erleichtern den Rechenaufwand, weil man aus ihnen schnell andere Komponenten ableiten kann. Typisch ist bei Tensoren zweiter Stufe, dass sie sich nicht verändern, wenn man ihre beiden Indizes vertauscht. In der Darstellung als Matrix wird klar, dass dies eine Vertauschung von Spalten und Zeilen ist. Die Symmetrie ist dann eine Spiegelsymmetrie zur Matrixdiagonalen.

Formen von Bianchi-Identitäten

• algebraische Identitäten: Hier zeigen sich Symmetrien von Tensoren, wenn man ihre Indizes vertauscht und Summen oder Differenzen bildet.
• differentielle Identitäten: Hierbei sind die Verknüpfungsrelationen komplizierter und enthalten Ableitungen (Differentiationen).

Eine besondere Symmetrieeigenschaft von Raumzeiten bewerkstelligen die Isometrien. Man kann durchaus die Killing-Gleichung, also verschwindende Lie-Ableitung des metrischen Tensors, als differentielle Identität auffassen.
Die Bianchi-Identitäten sind nun ebenfalls differentielle Identitäten, die für den Riemann-Tensor R gelten. Die Ableitungen, die hier eine Rolle spielen, sind die kovarianten Ableitungen, die man mit dem Differentialoperator Nabla (als Symbol ein auf einer Ecke stehendes, gleichseitiges Dreieck: ∇) notiert. Der Krümmungstensor ist im Prinzip die linke Seite der Einsteinschen Feldgleichungen und von zentraler Bedeutung für die ART. Der Riemann-Tensor ist ein Tensor 4. Stufe und kann durch einmaliges 'Überschieben' des metrischen Tensors (Verjüngen oder Kontrahieren genannt) in den Ricci-Tensor und durch zweimaliges Verjüngen in den Ricci-Skalar (skalare Krümmung) überführt werden. Wendet man dies unter Kenntnis der Bianchi-Identitäten an, so erhält man die kontrahierten Bianchi-Identitäten. Weil der Einstein-Tensor eng mit dem Riemann-Tensor und dessen Kontraktionen zusammenhängt, gelingt eine äußerst kompakte Notation, die vier Gleichungen mit je vier Termen bündelt. Diese vier Gleichungen nennt man auch differentielle Bindungen.

Geometrische Interpretation der Energieerhaltung in der Physik!

Die Bianchi-Identitäten sind jedoch weit mehr als eine Rechenhilfe. Sie sind Ausfluss eines tiefsinnigen, geometrischen Sachverhalts, den der französische Mathematiker Elie Joseph Cartan (1869 - 1951) folgendermaßen formulierte: 'Der Rand eines Randes ist null.' Dieses elementare Prinzip der Topologie sorgt dafür, dass der Einstein-Tensor divergenzfrei ist, wie es die kontrahierten Bianchi-Identitäten wiedergeben. Die Folge dieser Eigenschaft ist für die Physik von essentieller Bedeutung: sie mündet in den relativistischen Energieerhaltungssatz: die Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors. Das führt auf zwei wichtige Prinzipien, die die Physik in vielfältiger Weise beherrschen: Energieerhaltung und Impulserhaltung. Prosaisch umschrieben sind die Quellen (des Gravitationsfeldes) automatisch erhalten. In der Differentialgeometrie kann man zeigen, dass jede glatte Riemannsche Mannigfaltigkeit die Bianchi-Identitäten erfüllt. Damit hat die Energieerhaltung als physikalisches Prinzip eine geometrische Erklärung erfahren!
Historisch war es so, dass Albert Einstein bei der Entwicklung seiner ART die Arbeiten des italienischen Mathematikers Luigi Bianchi (1856 -1928) zu den Nicht-Euklidischen Geometrien nutzte. Die nach ihm benannten Bianchi-Identitäten fanden Gregorio Ricci-Curbastro (1853 - 1925) 1889 und er selbst 1902 unabhängig voneinander. Der deutsche Mathematiker Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 - 1955) konnte die Identitäten 1917 aus Emmy Noethers Theorem abgeleiten. Das Noether-Theorem stellt einen Zusammenhang zwischen einer Symmetrie und assoziierter Erhaltungsgröße her.

Buchtipp

• Eine sehr empfehlenswerte Darstellung zum letztgenannten Aspekt, Energieerhaltung und Geometrie, befindet sich in Misner, Thorne & Wheeler: Gravitation, Kapitel 15

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© Andreas Müller, August 2007

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