Astro-Lexikon G 5

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Gravitomagnetismus ist ein Effekt der Allgemeinen Relativitätstheorie Albert Einsteins. Der Effekt ist wichtig bei rotierenden Raumzeiten. Dort gibt es den Lense-Thirring-Effekt bzw. das Frame-Dragging, das mit dem Gravitomagnetismus erklärt werden kann. Rotierende Massen erzeugen ein gravitomagnetisches Feld. Dieses Feld wirkt sich auf Teilchen und Licht aus und führt zur Lense-Thirring-Präzession.

Verwandtschaft von Gravitation und Elektromagnetismus

Die Lense-Thirring-Präzession wiederum ist das allgemein relativistische Analogon zur klassischen Thomas-Präzession eines magnetischen Moments im magnetischen Feld. In der klassischen Elektrodynamik kann man das magnetische Feld B aus einem magnetischen Vektorpotential A konstruieren, B = rot(A). Im Rahmen des ADM-Formalismus der ART (3+1 Split) zerfällt das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum in dreidimensionale Teilräume (Hyperflächen) konstanter Koordinatenzeit. Von einer Hyperfläche zur nächsten, späterer Zeit vermittelt die Lapse-Funktion. Innerhalb der Hyperfläche von einem Ort zum anderen vermittelt der Shift-Vektor. Dieser kann als Vektorpotential wie in der Elektrodynamik aufgefasst werden und generiert dann das oben genannte gravitomagnetisches Feld. Der Elektromagnetismus hat also ein relativistisches Pendant: den Gravitomagnetismus. Das gravitomagnetische Feld beschreibt die Umgebung rotierender Massen und verschwindet bei nicht rotierenden, statischen Massen (beispielsweise bei Punktmassen wie der Schwarzschild-Lösung). Anders gesagt: Ein Massenstrom erzeugt ein gravitomagnetisches Feld, so wie ein elektrischer Strom ein magnetisches Feld in seiner Umgebung erzeugt. Aus dem gravitomagnetischen Tensor lässt sich eine gravitomagnetische Kraft ableiten. Diese Kraft ist das Analog zur Lorentz-Kraft der Elektrodynamik. Die gravitomagnetische Kraft lässt Gyroskope im gravitomagnetischen Feld präzedieren. Gyroskope sind nichts anderes als Kreisel. Ein Kreisel ist ein guter Testkörper, um den Lense-Thirring-Effekt experimentell zu vermessen. Ein präzedierender Kreisel macht eine typische Torkelbewegung, in der seine Drehachse nicht raumfest bleibt, sondern die Spitze eine Ellipse beschreibt.

Parallelen zur Quantenwelt des Spins

In der Quantentheorie kennt man die Wechselwirkung von Drehimpulsen, besonders die Kopplung des Bahndrehimpulses an den Spin, aber auch von Spins untereinander (Spin-Spin-Wechselwirkung). Diese Effekte sind mit dem Lense-Thirring-Effekt verwandt. Denn ein sich drehender Kreisel wechselwirkt mit einem rotierenden Körper in der Umgebung.

Gravitomagnetismus beim rotierenden Schwarzen Loch

Bedeutend ist der Lense-Thirring-Effekt in der Astrophysik, weil er Ursache für so genannte gravitomagnetische Dynamos ist. Dieser Mechanismus erzeugt starke, toroidale ('schlauchförmige') Magnetfelder nahe an rotierenden Schwarzen Löchern. Diese Löcher werden im Rahmen von Einsteins Theorie durch die Kerr-Geometrie beschrieben. Die Rotation ist vital, weil im Falle der statischen Schwarzschild-Lösung das gravitomagnetische Feld und somit die gravitomagnetische Kraft verschwinden. Das rotierende Loch hingegen verstärkt die Felder in der Magnetosphäre. Wie alle anderen Objekte, werden auch die Magnetfelder von der Rotation mitgerissen und verdrillt. Enger gewickelte Feldlinien entsprechen im Feldlinienbild einer Verstärkung des Feldes.
Dieses Phänomen wiederum spielt eine wichtige Rolle bei der allgemein relativistischen Magnetohydrodynamik: Während der Akkretion bilden sich Poynting-Fluss-dominierte Jets. D.h. über den Mechanismus von magnetischen Feldern, die mit dem rotierenden Loch wechselwirken, fällt nicht nur Materie in das Loch hinein, sondern kann den Bereich um das Loch wieder als Ausfluss verlassen.
Ein anderer Aspekt sind die quasi-periodischen Oszillationen (QPOs). Ein Ansatz der Astronomen besteht darin, dass eine der beobachteten QPO-Frequenzen mit der Lense-Thirring-Frequenz übereinstimme. Die quasi-periodisch wirkende gravitomagnetische Kraft sorgt in diesem Szenario für charakteristische, quasi-periodische Torkelbewegungen der inneren Akkretionsscheibe, wie bei einem Kreisel. In beobachteten Lichtkurven von Röntgenstrahlung finden sich diese charakteristischen Frequenzen.

Das Graviton ist das hypothetische Austauschteilchen (Eichboson) einer Quantenfeldtheorie der Gravitation, einer Quantengravitation. Es ist ein Tensorboson und hat damit Spin 2.

Graviton vs. Photon

Wie beim Photon erwartet man, dass seine Ruhemasse exakt null ist, weil die Gravitation ebenso wie die elektromagnetische Wechselwirkung im Prinzip eine unendliche Reichweite hat. Gravitonen bewegen sich ebenfalls mit der Lichtgeschwindigkeit c, wie die Photonen.
Das Graviton darf nicht mit den unquantisierten Gravitationswellen verwechselt werden: die Gravitationswellen folgen aus den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART), die aber eine klassische (soll heißen unquantisierte) Theorie ist. Die Gravitonen sind Quanten und müssen mit quantenfeldtheoretischen Konzepten beschrieben werden.

Ein bisschen Feldtheorie

Der feldtheoretische Ansatz besteht darin, sich die Lagrangedichte der betreffenden Feldtheorie zu beschaffen. Aus ihr folgt durch Auswertung der Euler-Lagrange-Gleichungen (wie man sie schon in der klassischen Mechanik notiert) die Bewegungsgleichung der Theorie, die Feldgleichungen. Eine solche Lagrangedichte wurde auch für die ART gefunden, die Einstein-Lagrangedichte (siehe Formel rechts). Dabei bezeichnet g die Determinante der Metrik und R die skalare Krümmung, die aus den Verjüngungen von Ricci-Tensor und Riemann-Tensor folgen. Im Prinzip lassen sich aus diesem Ansatz und der Annahme einer Lagrangedichte für die Materiefelder (mit endlichem analytischen Rechenaufwand) die vollen Einsteinschen Feldgleichung als Bewegungsgleichungen der ART ableiten!

Im Zugang einer Relativistischen Feldtheorie der Gravitation (relativistic field theory of gravity, RTG) geht man wie bei den Gravitationswellen auch zunächst mit einem linearisierten Ansatz für die Metrik an das Problem heran. Man stattet die Gravitonen mit Masse aus, um gegebenenfalls den Masseparameter a posteriori null zu setzen, wie experimentell zu erwarten wäre. Wiederum handele es sich um schwache Gravitationsfelder, die nur wenig von der Minkowski-Metrik abweichen mögen (siehe Gleichung oben). Es handelt sich also um eine lineare Gravitation mit massebehafteten Gravitonen auf einer flachen Hintergrundmetrik. Die Lagrangedichte sieht dann so aus, wie in der folgenden Gleichung dargestellt:

Andrei Gruzinov zeigte 2002, dass ein masseloses Graviton noch nicht durch Beobachtungen ausgeschlossen werden kann. Er nahm Bezug auf Beobachtungen im Sonnensystem, im Speziellen die Lichtablenkung im Gravitationsfeld der Sonne und die Periheldrehung des Merkurs, die ein masseloses Graviton nahe legen sollen (Zakharov 1970, van Dam & Veltman 1970). Eine Behandlung mit massiven Gravitonen und der zweiten hier präsentierten Lagrangedichte (m: Gravitonenmasse, a = -1: Pauli-Fierz Massenterm) zeige hingegen, dass es nur eine Obergrenze für die Gravitonenmasse gebe.
Die Kollegen Gershtein et al. bestätigen diese These anhand von gemessenen WMAP-Daten. Bei Zugrundelegung des gemessenen, totalen Dichteparameters von 1.02 (flaches Universum) und dem Hintergrund der Robertson-Walker-Metrik, leiten sie eine Obergrenze der Gravitonenmasse von 1.3 × 10^-66 Gramm bzw. 7.3 × 10^-34 eV ab. Dieser Zahlenwert ist winzig, aber endlich.
Mit diesen Ergebnissen ist jedoch die verschwindende Ruhemasse noch nicht ausgeschlossen! Weitere Messungen und neue theoretische Zugänge bleiben abzuwarten. Die Erwartung scheint sich jedoch zu erfüllen.

Quantengravitation und mehr Raumdimensionen

Die Quantengravitation birgt weitere faszinierende Aspekte: schon Anfang des letzten Jahrhunderts wurde über die Möglichkeit spekuliert, dass neben den vier Dimensionen der Relativitätstheorie zusätzliche Raumdimensionen existieren könnten. In der Kaluza-Klein-Theorie der 1920er Jahre wurde der Versuch unternommen die ART mit der Elektrodynamik in einer übergeordneten, vereinheitlichten Theorie zu beschreiben. Leider hatte diese Theorie einige Pathologien, so dass erst Anfang der 1990er Jahre im Rahmen der Stringtheorien das Thema Extradimensionen wiederbelebt wurde. Die aktuelle Forschung spekuliert darüber, ob die Physik des Standardmodells der Teilchenphysik auf einen niedrigdimensionalen Raum (Unterraum, engl. subspace) - einer so genannten 3-Bran - beschränkt ist, während sich die Gravitation in einem höherdimensionalen Raum, nämlich 3-Bran plus Extradimensionen, dem Bulk, ausbreiten kann. Das hätte unter anderem die erstaunliche Konsequenz, dass Gravitonen, die in hochenergetischen Stößen (z.B. in Teilchenbeschleunigern) entstehen könnten, in Extradimensionen verschwinden und damit Energie forttragen! Experimente, die den Energieerhaltungssatz verletzen, könnten daher ein Indiz für solche Prozesse sein. Danach wird in Teilchenbeschleunigern der neusten Generation tatsächlich gesucht.

Quellenverweise

• Veröffentlichungen zum Thema Gravitonenmasse: A. Gruzinov, 2002, astro-ph/0112246; Gershtein et al., 2003, astro-ph/0305125
• Review zur Quantengravitation und Extradimensionen von M. Cavaglia, hep-ph/0210296)

Dies sind die Relikte oder Überreste von Gamma Ray Bursts (GRBs). Das Akronym GRBR steht für Gamma Ray Burst Remnant. Sie sind vergleichbar den viel bekannteren SNR und zeigen Strukturen von expandierenden Schockwellen (blast waves) durch das interstellare Medium (ISM). Über Fermi-Prozesse können dabei ultra-hochenergetische Neutrinos gebildet werden.

In den Großen Vereinheitlichten Theorien (engl. Grand Unified Theories, kurz GUT) ist die Vereinigung von dreien der fundamentalen Naturkräften gelungen, nämlich elektromagnetischer, schwacher und starker Wechselwirkung.

Motivation

Warum sollte man diese für uns offensichtlich separat in Erscheinung tretenden Kräfte vereinigen wollen? Die Antwort ist, dass die 'laufenden Kopplungskonstanten' der genannten drei Kräfte auf eine vereinigte Kraft hinweisen. Eine Kopplungskonstante ist als Maß für die Stärke einer Kraft zu verstehen. Die starke Kraft ist die stärkste von den vieren (daher ihr Name), die Gravitation die schwächste. Nun zeigt sich jedoch, dass sich bei höheren Energien die Kopplungskonstanten annähern: sie 'laufen' und konvergieren bei einer Energie von etwa 2 × 10¹⁶ GeV, wie man aus Hochenergie-Experimenten in Teilchenbeschleuniger extrapolieren konnte. Ab dieser Schwellenenergie sind starke, elektromagnetische und schwache Wechselwirkung nicht mehr voneinander unterscheidbar und manifestieren sich in einer fundamentalen Kraft, der so genannten X-Kraft. Dies ist ein Zustand höherer Symmetrie. Ein Unterschreiten der Schwellenenergie von 2 × 10¹⁶ GeV bricht diese Symmetrie und sorgt für ein Aufspalten der X-Kraft in die elektroschwache und starke Kraft. Im Grenzwert kleiner Energien verschwindet demnach die X-Kraft, so wie wir es auch täglich beobachten.
Die drei Kräfte, die in der GUT zur X-Kraft 'verschmelzen', beschreiben die Physiker für sich genommen mit Quantenfeldtheorien. Die Quantenelektrodynamik (QED) beschreibt elektromagnetische Prozesse auf der Quantenebene, die Quantenchromodynamik (QCD) beschreibt den Zusammenhalt von Atomkernen und Nukleonen und das Glashow-Weinberg-Salam-Modell beschreibt schwache Prozesse, wie den Beta-Zerfall. Es liegt nahe, dass es auch für die GUT eine entsprechende Quantenfeldtheorie gibt. Sie kann aus der mathematischen Beschreibung der separaten Kräfte gewonnen werden. Dazu benutzen die Teilchenphysiker die Gruppentheorie. Jeder Wechselwirkung ist eine bestimmte Gruppenstruktur - eine Symmetriegruppe - zugeordnet:

Gruppenzugehörigkeiten

• Bei der elektromagnetischen Kraft heißt sie U(1), unitäre Gruppe. Aus dem Gruppenformalismus folgt die Existenz eines Botenteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung, dem Photon (die Regel, dass eine Gruppe N² - 1 Erzeugende hat, gilt hier nicht!).
• Die schwache Wechselwirkung wird durch die spezielle, unitäre Gruppe SU(2) repräsentiert. Hier gilt die Regel, dass die Gruppe N² - 1 Erzeugende hat, also drei (2² - 1 = 3) schwache Austauschteilchen. Es handelt sich um die masselosen Weakonen W⁺, W^- und W⁰ genannt werden. Erst durch 'Mischung' - beschrieben mit dem Weinberg-Winkel - von Photon und Z-Teilchen in einer elektroschwache Theorie (Schwellenenergie: 1 TeV) wird aus dem masselosen W⁰ ein massebehaftetes Z⁰. Ebenso werden die geladenen W-Teilchen massiv. Das Higgs-Boson sorgt dann letztendlich über den Mechanismus der spontanen Symmetriebrechung für die hohen Massen der schwachen Eichbosonen.
• Die starke Wechselwirkung wird durch die SU(3) dargestellt. Sie hat gegenüber der SU(2) eine Dimension mehr. Daraus folgen acht (3² - 1 = 8) starke Eichbosonen, die eine so genannte Farbladung tragen: sie heißen Gluonen.

Wir basteln uns eine GUT

Das sind also die Gruppenstrukturen der separaten Kräfte. Die einfachste GUT erhält man, wenn man das direkte Produkt der einzelnen Symmetriegruppen der drei Wechselwirkungen (ohne Gravitation) bildet. So resultiert eine SU(5)-Theorie mit 24 Eichbosonen (5² - 1). Das heißt also, dass neben den 12 bisher bekannten Eichbosonen (8 Gluonen, 1 Photon, 2 W-Teilchen und 1 Z-Teilchen) 12 weitere hinzukommen. Diese neuen Eichbosonen nennt man X-Bosonen, und Y-Bosonen. Sie gehören zu den Leptoquarks (Neologismus aus Leptonen und Quarks). X- und Y-Bosonen und deren Antiteilchen sind elektrisch, schwach und farbgeladen. Außerdem sind es Vektorbosonen, die also Spin 1 haben. X- und Y-Bosonen sind superschwer und haben Massen um 10¹⁶ GeV - zum Vergleich: Proton und Neutron wiegen jeweils 1 GeV. Die X-Bosonen tragen eine elektrische Ladung von 4/3 Anteile der Elementarladung (e = 1.602 × 10^-19 C). Demzufolge tragen Anti-X-Bosonen -4e/3. Die Y-Bosonen haben ein Drittel der Elementarladung, so dass Anti-Y-Bosonen die elektrische Ladung von -1e/3 tragen. Auf die insgesamt 12 X- und Y-Bosonen (inklusive Antiteilchen) kommt man nun, wenn man die Farbladung als weiteren Freiheitsgrad ergänzt: Jedes X-, Anti-X-, Y- und jedes Anti-Y-Boson kann die Farbladung rot, grün oder blau annehmen (entsprechend Indizes R, G, B). So benutzt man die Symbole X_R, X_G, X_B, Y_R, Y_G, Y_B und für die Antiteilchen Anti-X_R, Anti-X_G, Anti-X_B, Anti-Y_R, Anti-Y_G, Anti-Y_B.

Wir basteln uns eine andere GUT

Die Beschreibung der GUT mittels einer SU(5)-Gruppe stellt die einfachste Realisierung dar. Daneben wurde 1975 eine SO(10)-Eichgruppe vorgeschlagen (Fritzsch & Minkowski, Georgi). In der SO(10) ist die SU(5) als Untergruppe enthalten. Wie zu erwarten ist, sind in dieser Gruppe noch mehr Eichbosonen enthalten als die 24 der SU(5)-Theorie. Daneben können alle GUT-Modelle erweitert werden, so dass sie Supersymmetrie (SUSY) enthalten. Die Supersymmetrie entpuppt sich dabei als eine vitale Ingredienz, damit sich die drei laufenden Kopplungskonstanten tatsächlich in einem Punkt treffen. Ohne SUSY verfehlen sich die Kurven knapp. Deshalb gilt dieses extrapolierte Verhalten als gewichtigster Hinweis auf SUSY! Welche Gruppenstruktur die richtige Wahl für die GUT ist, muss die innere Konsistenz der Theorie und ihre Kompatibilität zu anderen Theorien sowie natürlich zum Experiment zeigen.

GUT und was sind die Konsequenzen?

1) Zerfall des freien Protons

Die wichtigste Folgerung der GUT ist der Zerfall des freien Protons. Das gebundene Proton zerfällt bekanntermaßen im radioaktiven β⁺-Zerfall. Sollte es die neuen Leptoquarks wirklich geben, so sind Feynman-Diagramme denkbar, in denen beispielsweise ein Proton in ein Positron und ein neutrales Pion (= Pi-Meson) zerfällt. Das neutrale Pi-Meson zerfällt seinerseits in Photonen (Photopionenproduktion), wie die Reaktionsgleichung rechts besagt. Solche Prozesse verstoßen gegen die Baryonenzahlerhaltung. Die Baryonenzahl B ist eine Quantenzahl. Für die Nukleonen (Proton und Neutron) ist sie jeweils 1, für das Antiproton -1, für die Quarks je 1/3, für Antiquarks -1/3 und für alle Leptonen (Elektronen, Myonen, Tauonen, Neutrinos) ist sie null. Mit dieser Kenntnis kann man folgende Baryonenzahl-Bilanz für die Zerfallsgleichung des Protons machen. Die linke Seite enthält nur das Proton: B_L = 1 (L für 'links'). Die rechte Seite enthält nun ein Positron mit verschwindender Baryonenzahl, weil es ein Lepton ist und ein Pi-Meson. Das neutrale Pion besteht aus zwei Quarks, u-Quark mit B = 1/3 und Anti-u-Quark B = -1/3. So folgt B_R = 0 (R für 'rechts'). Der Vergleich von B_L und B_R ergibt einen Unterschied, d.h. in diesem Prozess ist die Baryonenzahlerhaltung verletzt!
Protonenzerfall wird durch die X-Kraft vermittelt. Die extrem hohe Masse der X- und Y-Bosonen führt dazu, dass diese X-Kraft extrem kurzreichweitig ist. Anschaulich gesprochen müssen sich Teilchen sehr, sehr nahe kommen, damit sie die X-Kräfte spüren. Das ist sehr unwahrscheinlich. Präzise das ist der Grund dafür, dass die Zerfallszeit des freien Protons enorm groß ist. Theoretisch konnte man einen Wert von etwa 10³² Jahren ableiten! Experimentell versucht man dieses Phänomen mit Szintillationszählern zu messen. Diese Detektoren sind in der Lage kurze Lichtblitze zu messen, die aus dem Protonenzerfall als Cerenkov-Strahlung entstehen. Dazu werden die Zähler um einen großen Wassertank herum angeordnet. Der Grund, dass man gerade Wasser verwendet besteht darin, weil es naturgemäß sehr viele Protonen in Form von Wasserstoffatomkernen enthält (H₂O). Wie die Zerfallszeit nahe legt, sollte bei einer Zahl von 10³² Protonen im Tank, der Zerfall einmal im Jahr beobachtbar sein. Ein noch größerer Tank verbessert die Statistik entsprechend. Bislang blieb der Erfolg aus und man konnte keinen Zerfall des freien Protons detektieren.

2) Materie-Antimaterie-Asymmetrie

Die schweren X- und Y-Bosonen zerfallen in Quarks und Leptonen (siehe Reaktionsgleichungen rechts). Dabei wird nicht nur die Erhaltung der Baryonenzahl B verletzt, sondern auch die der Leptonenzahl L. Interessanterweise ist die Differenz B - L wieder eine Erhaltungsgröße (nur in der SU(5)-Theorie). Außerdem gilt Erhaltung der elektrischen Ladung. Man kann die GUT auch so auffassen: Sie stellt eine Symmetrie zwischen Quarks und Leptonen her. Dies besitzt eine Analogie zur Supersymmetrie, die eine Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen generiert.
In der Kosmologie und letztendlich für unsere Existenz sind die X- und Y-Bosonen von großer Bedeutung: Kurz nach dem Urknall waren alle Kräfte gleich. In dieser Planck-Ära gab es nur eine Urkraft. Schließlich setzte der erste Phasenübergang ein: Durch die Expansion des Universums und der damit verbundenen Abkühlung fand eine spontane Symmetriebrechung statt. Deshalb spaltete sich die Urkraft in die X-Kraft und die Gravitationskraft auf. Diese auf die Planck-Ära folgende Epoche nennt man die GUT-Ära. Zeitlich ist sie auf 10^-36 bis 10^-33 Sekunden nach dem Urknall anzusiedeln. Die GUT-Epoche ist gekennzeichnet von der Existenz superschwerer X- und Y-Bosonen mit Massen von etwa 10¹⁶ GeV. Doch das Universum expandierte weiter und wurde kälter. Beim Unterschreiten der GUT-Schwellenenergie von 2 × 10¹⁶ GeV, entsprechend einer Temperatur von 10²⁹ Kelvin setzte der nächste Phasenübergang ein. Die X-Kraft zerfiel in elektroschwache Kraft und starke Kraft. Die X- und Y-Bosonen waren nun nicht mehr stabil. Sie zerfielen und reicherten die Urmaterie mit Quarks und Leptonen an. Interessanterweise war der Zerfall jedoch asymmetrisch: Es entstanden unterschiedliche Mengen von Teilchen und Antiteilchen. Das primordiale Plasma war heiß und dicht und die Teilchen konnten nicht 'friedlich' mit ihren Antiteilchen koexistieren. Es kam zu einer heftigen Vernichtungsschlacht von Teilchen und Antiteilchen, deren Gewinner die Gammaphotonen waren. In dieser Phase spricht man vom strahlungsdominierten Kosmos, weil die Annihilation (Zerstrahlung, Vernichtung) eine ungeheuer große Zahl an Photonen erzeugte. Nun kam jedoch die geringfügige Asymmetrie zum Tragen: Es gab ein bisschen mehr Teilchen als Antiteilchen. Am Ende der Annihilation gab es sehr viele Photonen, aber auch eine Materieteilchen. Dies war die Saat für die ersten Sterne, Galaxien und die Voraussetzung für irdisches Leben: Wo wären wir heute ohne X- und Y-Bosonen?

Novalis: 'Hypothesen sind Netze, nur der wird fangen, der auswirft...'

Die GUT ist demnach ein recht erfolgreiches und viel versprechendes Konzept. Allerdings darf man nicht vergessen, dass sie noch eine Hypothese ist, die nicht erfolgreich bestätigt werden konnten. Aber der Leiter der vereinheitlichten Kräfte steht man heute auf der Sprosse der elektroschwachen Theorie: Sie wurde bestens durch die Verifikation von Z- und W-Teilchen bestätigt.
Die Vereinigung von X-Kraft und Gravitation macht dagegen konzeptionelle Probleme. Die Hinzunahme der Gravitation zur GUT stellt gerade eine Vereinheitlichung aller Naturkräfte dar. Die Forscher sind noch nicht so weit, als dass sie diese Unified Theory (UT) gefunden hätten. Die Herausforderung besteht darin, eine robuste Quantengravitation zu formulieren. Das ist die Basis, um alle Kräfte quantenfeldtheoretisch einheitlich zu beschreiben. Ein Erfolg versprechender Kandidat für eine UT ist die M-Theorie. Sie kann als übergeordnetes Konstrukt zu den Stringtheorien angesehen werden. Einer Unifikation aller Naturkräfte scheint dieser Ansatz besonders nahe zu kommen, aber bisher tun sich die Stringtheorien schwer mit Detailvorhersagen, die direkt in aktuellen Experimenten überprüft werden könnten. Ein zweiter Forschungspfad ist die Loop-Quantengravitation (LQG), die weniger dem Unifikationsbestreben aller Kräfte folgt. Hier geht es speziell um eine quantisierte Beschreibung der Gravitation, die der Allgemeinen Relativitätstheorie in besonderem Maße Rechnung trägt.

Gruppe meint ein mathematisches Gebilde, das bestimmten Kriterien genügt. Generell gibt es in einer Gruppenstruktur Elemente einer bestimmten Menge, die miteinander durch eine mathematische (binären) Operation, beispielsweise einer Transformation, verknüpft werden. Bei den Gruppen resultiert aus dieser Operation wieder ein Element, das zur Ausgangsmenge gehört.

Kriterienkatalog mathematischer Gruppen

• Abgeschlossenheit (engl. closure, Eigenschaft (i)): die Verknüpfung zweier Elemente führt wieder auf ein Element der Gruppe.
• Existenz eines neutralen Elements i (Eigenschaft (ii)): die Operation ist eine Identität.
• Existenz eines inversen Elements (Eigenschaft (iii)): die Operation von Element und zugehörigem inversen Element führt auf das neutrale Element.
• Assoziativität (Eigenschaft (iv)).

Sind alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt die Menge mit betreffender binären Operation Gruppe. Ist außerdem Kommutativität gegeben, also Vertauschen der Reihenfolge von Operationen führt zum gleichen Ergebnis, so nennt man die Gruppe abelsch (engl. Abelian group).

Bezug zur Physik: Eichtheorie

In Physik ist die Gruppentheorie ein sehr wichtiger mathematischer Zweig, der zu einem tiefen Verständnis der Natur führt. Man untersucht dabei die Invarianzeigenschaften physikalischer Gesetzmäßigkeiten, die auf Symmetrien und Erhaltungsgrößen führen (Noether-Theorem). Viele physikalische Transformationen (Rotationen, Translationen, Galilei-Transformation, Lorentz-Transformation etc.) erfüllen gerade die Gruppeneigenschaften und bilden damit mathematische Gruppen. Die Struktur dieser Gruppen hat einen tiefsinnigen, physikalischen Gehalt, weshalb das Studium der Gruppentheorie lohnt.
So offenbaren auch die Gravitationstheorien Gruppenstrukturen: die klassische Newtonsche Theorie kann auf die Galilei-Gruppe zurückgeführt werden.
Die Spezielle Relativitätstheorie und Allgemeine Relativitätstheorie stehen mit der Speziellen und Allgemeinen Lorentzgruppe in Zusammenhang. Man erkennt hier Verwandtschaften zu den klassischen Drehgruppen des zwei- und dreidimensionalen Raumes, was nahe legt, dass zumindest ein Anteil bei den Lorentz-Transformationen als Drehung im vierdimensionalen Minkowski-Raum interpretiert werden kann.
Die Quantenfeldtheorien des Standardmodells der Teilchenphysik, Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik und schwache Wechselwirkung sind ebenfalls mit Symmetriegruppen bestimmter Gruppenstruktur verknüpft.
In den Eichtheorien führt man Eichfelder ein, die dafür sorgen, dass gewisse Symmetrien erhalten bleiben. Diese Eichfelder werden als Eichbosonen interpretiert, die gerade die Wechselwirkung der jeweiligen Eichtheorie vermitteln. Es handelt sich um die intermediären Vektorbosonen, also Spin 1 tragende Austauschteilchen. Einzige Ausnahme bildet das hypothetische Graviton, das Austauschboson einer Quantengravitation, das ein Tensorboson (Spin 2) ist.
Das Konzept macht klare Aussagen zu diesen Wechselwirkungen, wie beispielsweise zur Zahl ihrer Eichbosonen und die Erscheinung der Wechselwirkungskräfte. In der QED beispielsweise erreicht man eine Invarianz der Dirac-Gleichung (die man aus einer speziell relativistischen Quantenmechanik extrahiert) durch die Einführung eines Eichfeldes, das man schließlich mit dem Photon identifiziert!
Die Methodik ist in den anderen Quantenfeldtheorien identisch: Physiker sind immer daran interessiert, die Bewegungsgleichungen der jeweiligen Theorie, die Feldgleichungen, invariant unter bestimmten Eichtransformationen zu lassen. Die resultierenden Eichfelder können immer als Eichbosonen der Theorie interpretiert werden, die die Wechselwirkung vermitteln!
Die ungebrochenen Eichtheorien beinhalten masselose Eichbosonen, wie es im Falle der QED und dem masselosen Photon erfüllt ist. Massebehaftete Eichbosonen kann man erst durch den Higgs-Mechanismus generieren, so zum Beispiel in der Schwachen Wechselwirkung. Das Higgs-Boson bewirkt eine spontane Symmetriebrechung und stattet durch Wechselwirkungen mit Fermionen und Bosonen diese mit Masse aus.

Terminologie von Gruppen

Die Gruppennamen fußen auf den Eigenschaften der Transformation. Gegeben sei eine Eichgruppe G(N). Es gelten folgende Vereinbarungen und Definitionen:

• G(N) heißt speziell, wenn die Determinante der Transformationsmatrix exakt eins ist: det(U)= 1. Die speziellen Gruppen nennt man die S(N).
• G(N) heißt unitär, wenn die Transformationsmatrix unitär ist: U⁺ = U^-1. Dabei bezeichnet ⁺ oder ^{* T} die Bildung der komplexen Konjugation aller Komponenten der Matrix sowie anschließende Transposition, also das Vertauschen von Spalten und Zeilen der Matrix. Die unitären Gruppen nennt man die U(N).
• G(N) kann beide Eigenschaften, speziell und unitär, erfüllen. Dann heißen diese Gruppen die SU(N).
• G(N) heißt orthogonal, wenn die Transformationsmatrix orthogonal ist, O^T = O^-1. Dabei bezeichnet ^T wiederum die Transposition, also das Vertauschen von Spalten und Zeilen einer Matrix (Anmerkung: Bei reellen Matrizen fallen die Begriffe unitär und orthogonal zusammen.). Diese Gruppen erhalten das Präfix O.
• Die speziellen, orthogonalen Gruppen heißen auch SO(N).
• Das N in G(N) gibt gerade die Dimension der Transformationsmatrix an.

Beispiele:

• 1) Die SO(2) ist Drehgruppe im 2D-Raum. Sie wird von Pauli-Spin-Matrizen (oder alternativ den Quaternionen) generiert. Dies sind also 2 × 2 - Matrizen. Die 2² - 1 = 3 Pauli-Matrizen heißen Generatoren der Drehgruppe.
• 2) Dementsprechend ist die SO(3) die Drehgruppe im 3D-Raum. Die Drehungen leisten 3 × 3 - Matrizen.
• 3) Heisenberg führte eine Symmetrie zwischen Proton und Neutron, den Nukleonen ein. Sie haben denselben Isospin, I = 1/2, aber unterschiedliche Projektionen dieses Isospinvektors. Die zugrunde liegende Gruppe des Isospins ist die SU(2). In Abwesenheit von elektromagnetischer Wechselwirkung wären Proton und Neutron identisch, aber infolge der vorhandenen elektromagnetischen Wechselwirkung findet eine Symmetriebrechung statt und bewirkt den geringfügigen Unterschied in den Massen dieser beiden Teilchen und den klaren Unterschied in der elektrischen Ladung.
• 4) Die Quantenelektrodynamik hat eine besonders einfache Gruppenstruktur, die U(1). Die Transformationsmatrix ist demnach eine unitäre 1 × 1 - Matrix. Das Eichboson ist das masselose, elektrisch neutrale Photon, der Generator der U(1). Die assoziierte Symmetrie bzw. Erhaltungsgröße ist die erhaltene elektrische Ladung.
• 5) Die schwache Hyperladung, eine Quantenzahl, fußt ebenfalls auf der U(1)-Gruppe.
• 6) Der schwache Isospin, wie er ausführlich bei den Leptonen beschrieben wird und zu deren Klassifikation dient, basiert auf der SU(2)-Gruppe.
• 7) Die Gruppenstruktur der Quantenchromodynamik basiert auf der SU(3) und wird also durch spezielle, unitäre 3 × 3 - Transformationsmatrizen beschrieben. Das Farb-Oktett, die acht masselosen Gluonen mit Farbladung, sind kein Zufall: sie sind gerade die 3² - 1 = 8 linear unabhängige Generatoren dieser Symmetriegruppe. Die Erhaltungsgröße ist die erhaltene Farbladung.
• 8) Eine besondere Stellung und höhere Komplexität nimmt die schwache Wechselwirkung ein. Die schwachen Austauschteilchen sind nicht masselos, sondern sogar sehr massereich, nämlich 86fache bzw. 97fache Protonmasse! Auch ist der 'schwache Ladung' nicht erhalten. Das gibt bereits einen Hinweis auf eine kompliziertere Gruppenstruktur. Die Teilchenphysiker fanden das direkte Produkt zweier Gruppen SU(2) × U(1) und begründeten eine elektroschwache Theorie. Deren Anfangszustand ist eigentlich symmetrisch und führt auf vier masselose Bosonen. Die Umgebung, das Quantenvakuum ist hingegen nicht symmetrisch. Dieses Vakuum, was durch ein masseloses Skalarfeld, dem Higgs-Teilchen beschrieben wird, bewirkt eine spontane Symmetriebrechung in dessen Folge die beiden W-Teilchen und das Z-Teilchen eine Masse erhalten, das Photon hingegen nicht.
• 9) Das Unifikationsbestreben geht jedoch noch viel weiter, als nur bei diesen zwei Wechselwirkungen. In den Großen Vereinheitlichten Theorien (GUT) kann man drei der vier fundamentalen Kräfte (ohne Gravitation) in einem einheitlichen Bild beschreiben. Das direkte Produkt der einzelnen Symmetriegruppen führt auf die SU(5)-Gruppe 24 Eichbosonen. Somit handelt man sich 12 weitere bosonische Austauschteilchen neben den bekannten ein, sie heißen X-Bosonen oder Leptoquarks. Die Theorie hat sicherlich einen ästhetischen Reiz, doch muss das Experiment ihre Gültigkeit untermauern. Entweder schafft man es, diesen Nachweis in Teilchenbeschleunigern zu erbringen oder die Beobachtung des Frühen Universums, nur Sekundenbruchteile nach dem Urknall bringt Indizien zur Richtigkeit der GUT.
• 10) Die Spezielle Lorentz-Transformation lässt die Minkowski-Metrik invariant und ist daher eine Isometrie. Man kann die Gruppeneigenschaften anhand der Lorentz-Transformationsmatrix nachvollziehen und die Spezielle Lorentz-Gruppe ableiten. Dem übergeordnet ist die Poincarégruppe, die um Translationen erweitert ist. Die Lorentzgruppe ist demgemäß eine Untergruppe der Poincarégruppe.
  Untergruppen sind auf Untermengen definiert, die jedoch ebenfalls die Kriterien einer mathematischen Gruppe erfüllen.

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© Andreas Müller, August 2007

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