Astro-Lexikon C 2

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Die Chandrasekhar-Grenze markiert die charakteristische Massengrenze für kompakte, stellare Objekte von etwa 1.4587 Sonnenmassen (mit einer geringfügigen Abhängigkeit von der chemischen Zusammensetzung). Die Bezeichnung wurde zu Ehren des indischen Astrophysikers Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 - 1995) gewählt, der realistische Sternmodelle mit idealen Fermigasen bereits 1935 berechnet hat. Chandrasekhar gilt als einer der großen Relativisten und theoretischen Astrophysiker. 1983 erhielt er den Nobelpreis für Physik für seine Arbeit auf dem Gebiet des Sternaufbaus und der Sternentwicklung. Sein Buch The Mathematical Theory of Black Holes (1983) ist bis heute ein wichtiger Grundpfeiler der relativistischen Astrophysik und der Theorie der Schwarzen Löcher. Der amerikanische Röntgensatellit Chandra wurde ihm zu Ehren so getauft.

Ganz schön dicht

Diese Massendomäne kompakter Objekte ist gerade typisch für Weiße Zwerge, der kompakten Endkonfiguration eines massearmen Sterns, wie der Sonne. Das Elektronengas im Innern des Sterns wird erst bei hohen Dichten relativistisch, ab etwa 10⁶ g cm^-3. In normalen Sternen ist das nicht gegeben. Erst wenn er am Ende seiner stellaren Entwicklung im Gravitationskollaps kollabiert, kann der kompakte Kern im Innern ein relativistisches Elektronengas bilden. Die Objekte nahe an der Chandrasekhar-Grenzmasse sind daher typischerweise Weiße Zwerge. Aber auch viel leichteren Braunen Zwerge werden durch den Entartungsdruck stabilisiert.

Wenn Quanten drücken

Nein, hier drückt nicht der Schuh, sondern es sind quantenmechanische Teilchen, die sich gegen weitere Kompression wehren. Doch oberhalb der Chandrasekhar-Masse, kann der Stern nicht mehr durch den Entartungsdruck relativistischer Elektronen im hydrostatischen Gleichgewicht gehalten werden und muss zu einem noch kompakteren Objekt kollabieren, beispielsweise einem Neutronenstern, Magnetar, Quarkstern oder bei sehr großer Überschreitung der Massengrenze zu einem stellaren Schwarzen Loch (oder zu alternativen Objekten wie Gravasternen oder Holosternen?).

Quantenstatistik: Fermionen sind ungesellig

Es folgt nun eine kurze Skizzierung, wie man auf den Zahlenwert der Chandrasekhar-Grenze kommt. Erst die Fermi-Dirac-Statistik für Fermionen (Spin1/2-Teilchen), die 1926 entdeckt wurde, ermöglicht eine Beschreibung des Innern kompakter Objekte, die jedoch noch aus Elektronen, Nukleonen und Atomkernen bestehen. Anschaulich gesprochen kann man ein ideales Fermigas nicht beliebig komprimieren: das Pauli-Prinzip verbietet, dass Fermionen (wie Elekronen oder Neutronen) einen gleichen Quantenzustand besetzen können. Anders gesagt, setzen die Fermionen bei Kompression des Fermigases einen Druck entgegen, den Entartungsdruck der Elektronen. Der Entartungsdruck kann durch Integration über die Impulskugel von Impuls null bis zum Fermi-Impuls berechnet werden. Der Gravitationskollaps wird daher unterhalb der Chandrasekhar-Grenze gestoppt: es bildet sich eine stabile, stellare, aber kompakte Konfiguration aus: ein Weißer Zwerg.
Mathematisch geht man von der Bedingung für hydrostatisches Gleichgewicht aus und setzt eine polytropische Zustandsgleichung an. Die Einführung dimensionsloser Variablen führt dann auf die Lane-Emden-Gleichung, die fundamental ist in der Stellarphysik und numerisch gelöst werden kann. Die bekannten Gleichungen für Masse und Radius eines Sterns führen auf Masse-Radius-Beziehungen für entartete Sterne, die noch vom Polytropenindex n abhängen. Nun kann man zwei Regime unterscheiden:

• den nicht-relativistischen Fall n = 3/2
• und den relativistischen Fall n = 3.

Eine Frage der Zusammensetzung

Der letzte Fall für relativistische Elektronen, der typischerweise für Dichten größer als 10⁶ g cm^-3 erfüllt ist, zeigt keine Abhängigkeit mehr vom Radius bzw. von der Zentraldichte, sondern nur eine schwache Abhängigkeit von der chemischen Zusammensetzung (ausgedrückt durch den Parameter Y_e, siehe zweite Abbildung). Eine realistische Annahme aus der Kenntnis thermonuklearer Fusionsprozesse im Innern massearmer Sterne ist, dass infolge des Wasserstoffbrennens (siehe pp-Kette) und des CNO-Zyklus der kompakte Sternkern zu gleichen Teilen (Parameter X_i) aus Helium, Kohlenstoff und Sauerstoff besteht. Das führt gerade auf einen Parameter für die chemische Zusammensetzung von Y_e = 0.5 (wobei Z_i die Kernladungs- oder Ordnungszahl und A_i die Atommasse des Elements i bezeichnet). Bei diesem Zahlenwert kommt man auf die Chandrasekhar-Grenze, die dann bei 1.4587 Sonnenmassen liegt (siehe erste Abbildung). Diese Massengrenze kann durch starre Rotation des Weißen Zwergs nicht wesentlich verändert werden: die Zentrifugalkraft hat demnach keinen gravierenden Effekt in der Gleichung für hydrostatisches Gleichgewicht.
Die Weißen Zwerge befinden sich gerade am relativistischen Limit, so dass die eigentlich zu verwendenden Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichungen für das Innere des Weißen Zwergs nur eine kleine Korrektur bringen. Die Newtonsche Näherung reicht also aus.

Es geht noch dichter

Das Chandrasekhar-Modell erfährt eine Korrektur bei sehr hohen Zentraldichten ab 1.14 × 10⁹ g cm^-3. Dann setzt der inverse Beta-Zerfall ein. Dies wird ausführlich bei den Neutronensternen diskutiert, weil hier diese Reaktionen von höherer Relevanz sind.
Hamada und Salpeter haben 1961 Korrekturen zur Chandrasekhar-Theorie entarteter, relativistischer Sterne angebracht, die für ein Fermigas aus Elektronen und Atomkernen bis zu Dichten von etwa 10¹¹ g cm^-3 gelten. Die Elektronen sind dabei homogen in einem Ionengitter verteilt und wechselwirken miteinander über die klassische Coulomb-Wechselwirkung. Außerdem wechselwirken die Spins der Elektronen untereinander und können Energie austauschen. Daraus konnten sie die niedrigstmögliche Grenzmasse auf 1.015 Sonnenmassen bestimmen, ein Wert, der 1971 von Baym, Pethick und Sutherland im Wesentlichen bestätigt wurde.

Kohlenstoff-Sauerstoff- und Eisen-Zwerge

Die Hipparcos-Mission hat die Daten einiger Weißer Zwerge enthüllt, die sich in visuellen Binären befinden: die Masse folgt aus dem Dritten Kepler-Gesetz; der Radius kann aus dem gemessenen Fluss bei bekannter Distanz abgeleitet werden. Damit sind Masse-Radius-Beziehungen messbar! Legt man die obige Theorie zugrunde, zeigt sich, dass Weiße Zwerge im Wesentlichen entweder aus Kohlenstoff und Sauerstoff (CO-Zwerge, wie Sirius B und 40 Eri B) oder großteils aus einem Eisen-Kern bestehen (Fe-Zwerge, Procyon B, EG 50, GD 140). Letztgenannte sind wesentlich kompakter und haben kleinere Radien. Die Anreicherung mit Eisen stellt die Theorie der Sternentwicklung auf eine harte Probe, weil massearme Vorläufersterne (wie die Sonne), aus denen Weiße Zwerge hervorgehen, eigentlich gar kein Eisen in ihrem Innern fusionieren können!

Überschreiten der Chandrasekhar-Grenze?

2006 wurde ein Weißer Zwerg entdeckt, der vermutlich die Chandrasekhar-Grenze überschreitet. Das könnte funktionieren, falls der Zwerg außerordentlich schnell rotiert. Einzelheiten hierzu werden unter dem Eintrag Supernova, Abschnitt Zweifel an der Standardkerze SN Ia vorgestellt.

Das Chaplygin-Gas (CG) ist eine sehr ungewöhnliche Zustandsgleichung einer Flüssigkeit. Sie wurde ursprünglich von dem russischen Physiker Sergey Chaplygin schon 1904 eingeführt, um in der Aerodynamik die Kräfte auf Flugzeugtragflächen zu beschreiben. Um 1940 wurde Chaplygins Ansatz nochmals in der Aerodynamik eingesetzt. Erst 2001 entdeckten russische Forscher die Tauglichkeit des Chaplygin-Gases in der Kosmologie (Kamenshchik et al. 2001). Diese Disziplin wird bisweilen als Chaplygin-Kosmologie bezeichnet.

Ein Gas mit vielen Gesichtern

Das Chaplygin-Gas wird in seiner ursprünglichen Form durch die Zustandsgleichung rechts beschrieben. Darin ist p der Flüssigkeitsdruck, ρ die Flüssigkeitsdichte (beide im Ruhesystem der Flüssigkeit) und A ist eine positive Konstante. Betrachten wir folgende Grenzfälle: Bei ρ » A wird der Quotient A/ρ klein, d.h. wir haben es mit einer Art Staub (p = 0) zu tun. Bei ρ « A wird der Quotient A/ρ groß und der Druck p insbesondere negativ und groß. Das ist eine Art extreme Form Dunkler Energie, die verwandt ist mit der Phantom-Energie. Die Theoretiker nennen das ein 'Phantom-Chaplygin-Gas'. Es verletzt die starke Energiebedingung.

Kosmologie mit Chaplygin-Gas

Beschreibt man nun den Materieinhalt im Universum mit einem CG, so führt dessen Zustandsgleichung dazu, dass im frühen Kosmos sich das Chaplygin-Gas wie Staub (w-Parameter w = 0) verhält; in späten Entwicklungsphasen hingegen ändert es sein Verhalten: dann ist es vergleichbar mit einer idealen Flüssigkeit mit negativem Druck. Mit anderen Worten: Das CG verhält sich mal wie Dunkle Materie und mal wie Dunkle Energie - es eignet sich damit zur einheitlichen Beschreibung von Dunkler Materie und Dunkler Energie! Insbesondere handelt es sich dabei um eine dynamische Ersatzform von Dunkler Energie und kann somit als Alternative zu Quintessenzen (so auch der Titel des Kamenshchik-Papiers) aufgefasst werden. Dabei ist in diesem Ansatz kein Skalarfeld involviert, die ja sonst weit verbreitet in der Kosmologie sind (siehe z.B. Cosmon, Radion, Inflaton).

Verallgemeinerungen der Zustandsgleichung

Kamenshchik und seine Kollegen haben die fast hundert Jahre zuvor gefundene Zustandsgleichung verallgemeinert und einen Exponenten α eingeführt. Dann resultiert das verallgemeinerte Chaplygin-Gas (engl. generalized Chaplygin gas, GCG) in der Gleichung rechts. Der Parameter α liegt zwischen 0 und 1 - ein häufig betrachteter Fall ist α = 1/3.
Die großräumige Struktur des Universums weist offensichtlich Inhomogenitäten auf, wie astronomische Beobachtungen zeigen. Deshalb scheint es erstrebenswert, die eine Phase des Chaplygin-Gases, nämlich drucklosen Staub (p = 0, also auch w = 0), durch eine Materieform mit Druck zu ersetzen. Tatsächlich ist es möglich, eine solche Verallgemeinerung in Gestalt eines inhomogenen Chaplygin-Gases einzuführen (Bilic et al. 2002). Das gelingt durch Berücksichtigung eines neuen Potentialterms im Lagrange-Fuktional.
Das Chaplygin-Gas birgt auch eine interessante Anwendung in der Physik kompakter Objekte, weil man die Blase Dunkler Energie im Innern von Gravasternen mit einem Chaplygin-Gas auffüllen kann. Dieser kompakte Stern wird Chaplygin-Gravastern genannt.

Vor- und Nachteile des Chaplygin-Gases

Der Vorteil des CG-Modells ist, dass es ebenfalls die astronomisch beobachtete beschleunigte Expansion des Universums zu erklären vermag. Eine weitere gute Eigenschaft ist, dass Dunkle Materie und Dunkle Energie vereinheitlicht werden - Physiker halten ja generell viel von Vereinheitlichung.
Den Preis, den man dafür zahlt ist, dass man eine sehr seltsame Zustandsgleichung physikalisch ernst nehmen muss. Das wird nicht jedem Astrophysiker leicht fallen.

Tests & Fürsprecher

Das Chaplygin-Gas ist eine dynamische Energieform, die insbesondere eine Zunahme der kosmologischen Konstante vorhersagt. Sollte das beobachtet werden, würde das zumindest dem CG-Modell Zulauf verschaffen.
Unter gewissen Voraussetzungen folgt die CG-Zustandsgleichung auch im Rahmen der Stringtheorien.

Papiere

• Kamenshchik, A., Moschella, U. & Pasquier, V.: An alternative to quintessence, Phys. Lett. B 511, 265, 2001; als Preprint gr-qc/0103004
• Bilic, N, Tupper, G.B. & Viollier, R.D.: Unification of dark matter and dark energy: the inhomogeneous Chaplygin gas, Phys. Lett. B 535, 17, 2002

Die Chiralität oder Händigkeit (grch. cheir: Hand) ist eine Eigenschaft von Elementarteilchen, also in der Sprache der Teilchenphysiker eine Quantenzahl. Für masselose Teilchen ist die Chiralität identisch mit der Helizität, also der Projektion des Spinvektors des Teilchens auf die Bewegungsrichtung (Definition über das Skalarprodukt). Für masselose Teilchen bleibt die Chiralität erhalten. Eine Erhaltungsgröße ist auf eine Symmetrie zurückzuführen (Noether-Theorem), die man hier chirale Symmetrie nennt.

Wozu eine Links-Rechts-Symmetrie?

Diese Symmetrie bezieht sich auf die Lagrangedichte der Quantenchromodynamik (QCD). Offensichtlich ist diese chirale Symmetrie gebrochen, denn wir beobachten ebenso massebehaftete Teilchen. Im Peccei-Quinn-Modell (1977) nimmt man daher - analog zum Higgs-Mechanismus - weitere Higgs-Felder an, die gerade die chirale Symmetrie spontan brechen: die pseudoskalaren Axionen. Dieses Teilchen ist ein Favorit für die hadronische kalte Dunkle Materie, wurde aber bisher nicht experimentell nachgewiesen.

Das Christoffel-Symbol heißt auch Levi-Civita-Zusammenhang (engl. Levi-Civita connection) oder affiner/metrischer Zusammenhang. Es ist eine mathematische Größe in der Differentialgeometrie und insbesondere in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Das Christoffel-Symbol eignet sich, um die Krümmung einer Raumzeit ausrechnen zu können.

Berechnung

Der Levi-Civita-Zusammenhang ist im Prinzip eine Summe von partiellen Ableitungen der Metrik, wie die Definitionsgleichung oben zeigt. Die Gleichheit der Klassen von affinen und metrischen Geodäten einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit erfordert zwingend das Verschwinden der kovarianten Ableitung des metrischen Tensors (siehe auch Linienelement). Dann ist der metrische Zusammenhang notwendigerweise symmetrisch, d.h. für die Gleichung oben, dass Vertauschen der Indizes λ und μ bei Γ den Levi-Civita-Zusammenhang nicht verändern.

Christoffel-Symbole in der Praxis

Die Berechnung der Christoffel-Symbole ist erforderlich, wenn man die Einsteinschen Feldgleichungen einer beliebigen Metrik, wie z.B. die Schwarzschild-Lösung oder die Kerr-Lösung in der ART formulieren möchte. Man kann sagen, dass die Christoffel-Symbole der ART die Rolle der Newtonschen Gravitationskraft übernehmen. Die Christoffel-Symbole enthalten erste Ableitungen der Metrik. Der Riemannschen Krümmungstensor berechnet sich wiederum aus ersten Ableitungen der Christoffel-Symbole, d.h. er enthält zweite Ableitungen der Metrik. Aus dem Riemann-Tensor berechnet man durch Verjüngung schließlich den Einstein-Tensor und folgert so die Feldgleichungen - nun spezifiziert auf eine bestimmte Metrik. Die Krümmungseigenschaften und die Dynamik der Raumzeit stecken in dieser fundamentalen Gleichung der Einsteinschen Gravitation.

Torsionsfreiheit

Die Symmetrie der Christoffel-Symbole hat weitere Konsequenzen, wie man an der Definition des Torsionstensors (in dem Eintrag dort) betrachtet. Der Torsionstensor ist ein Tensor vom Typ (1,2), der aus einer Differenz von Christoffel-Symbolen - die selbst keine Tensoren sind! - gebildet wird. Bei einem symmetrischen Zusammenhang verschwindet dieser Torsionstensor. Mit anderen Worten: Einsteins ART ist eine torsionsfreie Gravitation!

Gravitation mit Torsion

Die Torsionsfreiheit wird in manchen alternativen Gravitationstheorien aufgegeben. Einstein hat 1928 selbst in der Theorie vom Fernparallelismus einen solchen Ansatz gewählt, um Gravitation und Elektromagnetismus in einer neuen Feldtheorie zu vereinheitlichen. Er scheiterte zwar, aber in der modernen Gravitationsforschung werden weiterhin solche Gravitationstheorien mit Torsion unter der Bezeichnung fernparallele Gravitation (engl. teleparallel gravity) erforscht. Eine Übersicht der Themen in der aktuellen Gravitationsforschung wird im Lexikoneintrag Gravitation vorgestellt.

Ein englisches Akronym, das cosmic microwave background bedeutet, manchmal auch als CMBR zu lesen, dann bedeutet es cosmic microwave background radiation. Damit bezeichnet man die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung oder Drei-Kelvin-Strahlung.

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© Andreas Müller, August 2007

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