Astro-Lexikon P 2

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Penrose-Diagramme, die in kompletter Bezeichnung eigentlich Carter-Penrose-Diagramme heiß sind unerlässliche Werkzeuge, um in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) die Struktur einer Raumzeit im Unendlichen, insbesondere ihre kausale Struktur, zu untersuchen.

Die Grundidee

Diese Technik wurde vom brillanten Mathematiker und Relativisten Roger Penrose 1964/65 entwickelt. Dabei dient eine spezielle mathematische Operation, die konforme Transformation, dazu, um sich eine konforme Metrik aus der zu untersuchenden Raumzeit zu beschaffen. Die Eigenschaften der Metriken sind aufgrund der Konformität übertragbar.

konforme Transformation

Das Penrose-Diagramm ist dann im Prinzip ein Raumzeit-Diagramm der konform kompaktifizierten Raumzeit. Das klingt komplizierter, als es ist: Kompaktifizierung bedeutet in diesem Zusammenhang, dass eine unendlich ausgedehnte, physikalische Raumzeit auf eine 'unphysikalische' Raumzeit in ein endliches Gebiet transformiert wird. Bei der Transformation bildet man vereinfacht gesagt unendliche Intervalle auf endliche Intervalle ab.

Wie geht's weiter?

Penrose-Diagramme werden studiert, indem man den Verlauf von Teilchenbahnen verfolgt: wo beginnen sie, wo enden sie? Diese Bahnen nennt man in der ART Geodäten. Die Relativitätstheoretiker unterscheiden zeitartige Geodäten, denen Teilchen und Beobachter mit endlicher Ruhemasse folgen; Nullgeodäten, die von elektromagnetischer Strahlung (Photonen, die Lichtquanten, haben verschwindende Ruhemasse) genommen werden und raumartige Geodäten, die 'unphysikalisch' bzw. tachyonisch sind, weil sie die Kausalität verletzen. Diese Geodäten werden in das Penrose-Diagramm eingezeichnet, um zu verstehen, wie sich die Teilchen in der Raumzeit bewegen.

verschiedene Unendlichkeiten

Die Nomenklatur in Penrose-Diagrammen ordnet bestimmten Punkten und Flächen im Diagramm ein Symbol zu. Sie sind assoziiert mit unterschiedlichen Typen von Unendlichkeiten:

• Die vergangene zeitartige Unendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Zeitkoordinate gegen negativ unendlich geht, während die Raumkoordinate endlich bleibt. Hier beginnen zeitartige Geodäten. In der Symbolik wird dies mit einem großen oder kleinen Buchstaben i mit Index - gekennzeichnet.
• Die zukünftige zeitartige Unendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Zeitkoordinate gegen positiv unendlich geht, während die Raumkoordinate endlich bleibt. Hier enden zeitartige Geodäten. In der Symbolik wird dies mit einem großen oder kleinen Buchstaben i mit Index + gekennzeichnet.
• Die raumartige Unendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Raumkoordinate gegen positiv unendlich geht, während die Zeitkoordinate endlich bleibt. Bis hier erstrecken sich raumartige Flächen. In der Symbolik wird dies mit einem großen oder kleinen Buchstaben i mit Index 0 gekennzeichnet.

Diese bisher genannten Unendlichkeiten treten typischerweise als Punkte in Penrose-Diagrammen in Erscheinung, weil höhere Dimensionen oft aus Gründen der Überschaubarkeit unterdrückt werden.
Daneben gibt es auch Gebiete, die in Penrose-Diagrammen wie Kanten aussehen und an sich Flächen sind. Sie werden mit einem besonderem Symbol versehen: dem großen Skript-I. Relativisten sprechen es wie 'skrai' aus, was ein Neologismus ist, der aus der phonetischen Verkürzung für die englische Bezeichnung 'script i' folgt.

Noch mehr Unendlichkeiten

• Die vergangene Nullunendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Differenz t - r gegen negativ unendlich geht, aber die Summe t + r endlich bleibt. Von hier aus kommen Nullgeodäten. In der Symbolik wird dies mit einem großen Skript-I mit Index - (gesprochen 'skrai minus') gekennzeichnet.
• Die zukünftige Nullunendlichkeit ist ein Gebiet, wo die Summe t + r gegen positiv unendlich geht, aber die Differenz t - r endlich bleibt. In diese Gebiete erstrecken sich auslaufende Nullgeodäten. In der Symbolik wird dies mit einem großen Skript-I mit Index + (gesprochen 'skrai plus') gekennzeichnet.

Transformation mit Tangens

Die konforme Transformation wird häufig mit der trigonometrischen Tangensfunktion umgesetzt. Der Tangens bildet endliche auf unendliche Intervalle ab, seine Umkehrfunktion macht entsprechend die inverse Transformation.

Beispiel 1: Minkowski-Metrik

Ein einfaches Beispiel für ein Penrose-Diagramm ist die flache Minkowski-Metrik der Speziellen Relativitätstheorie (Abbildung ganz am Anfang dieses Eintrags, zwei Dimensionen wurden unterdrückt!). Man kann das Minkowski-Linienelement sowohl in kartesischen, als auch in sphärischen Koordinaten ausdrücken. Auf der linken Kante, der Zeitachse, verschwindet die Radialkoordinate, r = 0. Man muss sich das Penrose-Diagramm um diese Achse rotiert vorstellen, um die beiden anderen, unterdrückten Dimensionen (φ, θ) zu erhalten. In der Abbildung sind außerdem Linien konstanten Radius und konstanter Zeit eingetragen. Die zeitartigen Geodäten verlaufen von unten, i^-, nach oben, i⁺. Die raumartige Unendlichkeit befindet sich rechts, i⁰. Radiale Nullgeodäten bilden einen Winkel von 45° mit der Vertikalen (einlaufend -45°, oben; auslaufend +45°, unten).

An dieser Winkelstellung von 45° kann man immer Nullgeodäten in Penrose-Diagrammen erkennen.

Beispiel 2: kollabierender Kugelstern

Ein weiteres Beispiel ist ein (idealisierter) sphärisch symmetrischer Gravitationskollaps eines massereichen Sterns zu einem stellaren Schwarzen Loch (siehe zweite Abbildung). Wiederum schließen die Nullgeodäten einen halben rechten Winkel mit der Vertikalen ein und markieren die Kanten der vergangenen (unten) und zukünftigen (oben) Nullunendlichkeit. Der Stern kollabiert und schrumpft immer mehr, bis sich der Ereignishorizont (blau) abschnürt. Er umschließt die intrinsische Singularität (rot), hier vom Schwarzschild-Typ. Das Gebiet zwischen roter und blauer Linie heißt eingefangene Fläche (engl. trapped surface).

Beispiel 3: Wurmloch

Das Penrose-Diagramm der Schwarzschild-Geometrie folgt durch Transformation auf Kruskal-Szekeres-Koordinaten. In diesem Diagramm (hier nicht gezeigt) erkennt man sehr gut die beiden Seiten des Wurmlochs, die durch die Einstein-Rosen-Brücke miteinander verbunden sind.

Der Relativist Roger Penrose hat darauf hingewiesen, dass es möglich sein könnte, aus einem rotierenden Schwarzen Loch Energie, genauer gesagt Rotationsenergie, zu gewinnen. Dieser Vorgang wird Penrose-Prozess genannt.

Wie kann das gehen?

Rotierende Schwarze Löcher werden in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie durch die Kerr-Metrik beschrieben. Diese Raumzeit hat eine einzigartige Eigenschaft: sie besitzt eine Ergosphäre, die eine besonders schnelle Rotation des Raumes markiert. Penrose hatte sich nun das Gedankenexperiment ausgedacht, dass Teilchen in die Ergosphäre geschossen werden. Dort sollte jedes Teilchen in zwei Teile zerfallen, z.B. infolge eines radioaktiven Zerfalls: ein Teil fällt in das Schwarze Loch, der andere entweicht aus der Ergosphäre in den Außenraum.
Die Rechnungen zeigen nun, dass die ausströmende Materie mehr Energie haben kann als die eingefallene! Dies geschieht dadurch, dass das rotierende Schwarze Loch Drehimpuls verlieren kann, um ihn auf das entkommene Teilchen zu übertragen. Anders gesagt: Das Loch verliert Rotationsenergie. Die Energiegewinnung aus Kerr-Löchern scheint damit theoretisch möglich zu sein.

klassischer Penrose-Prozess

Im klassischen Penrose-Prozess (Penrose et al., 1969) nehmen retrograd rotierende Teilchen (gegenläufige Rotation im Vergleich zum Kerr-Loch) in der Ergosphäre Zustände negativer Energie an, gemessen von einem Beobachter im Unendlichen. Allerdings können diese Teilchen nicht direkt ins Unendliche entkommen und dem System Energie entnehmen. Jedoch kann durch Streuprozesse zwischen zwei Teilchen in der Ergosphäre eines einen retrograden Orbit und damit negative Energie erhalten, während das andere seine Energie bekommt und forttragen kann.

PPP: Penrose-Paarbildung

Ein besonderes Szenario unter den Penrose-Prozessen ist die Penrose-Paarbildung (engl. Penrose pair production, PPP). Hier geht man davon aus, dass Photonen, die in der Photonensphäre gefangen sind, mit Photonen, die auf radialen Geodäten einlaufen kollidieren. Wie die Reaktionsgleichung links darstellt, kann bei dieser Kollision ein Paarplasma aus Elektronen und Positronen erzeugt werden. Typischerweise wird angenommen, dass die Photonen im Orbit Energien im Bereich von MeV bis GeV haben, während das einlaufende Photon nur etwa 10 keV haben muss. Das würde nach E = mc² ausreichen, um aus hochenergetischem Licht leptonische Materie zu erzeugen.

Jetentstehung durch Gravitomagnetismus

Die Ergosphäre als Gebiet zwischen statischem Limit, r_stat, und Ereignishorizont erlangt erst bei hohen Rotationen eine signifikante Größe. Im Schwarzschild-Fall gibt es keine Ergosphäre und keine rotierende Raumzeit: diese Raumzeit ist statisch. Eine Darstellung aller charakteristischer Radien bei Schwarzen Löchern zeigt, dass der Photonenorbit erst bei einer Rotation von a ~ 0.7M in die Ergosphäre eintaucht. In der Ergosphäre gibt es dann allgemein relativistische Effekte wie Frame-Dragging bzw. Lense-Thirring-Effekt - dort werden sie besonders stark. Das gravitomagnetische Feld stellt eine gravitomagnetische Kraft (als Pendant zur Lorentz-Kraft im magnetischen Feld) bereit, die vor allem nicht-äquatoriale Teilchenbahnen beeinflusst: sie werden zur Lense-Thirring-Präzession veranlasst. Insbesondere kann diese gravitomagnetische Wechselwirkung zu einseitigen Jets führen, wie man sie in vielen Quasaren und anderen Aktiven Galaktischen Kernen (AGN) beobachtet. Denn die gravitomagnetische Kraft zieht vorzugsweise die Teilchen mit der Rotationsrichtung des Kerr-Loches mit. Dies bricht also die Reflexionssymmetrie zwischen oberer und unterer Hemisphäre. Damit kann die Einseitigkeit von Jets nicht nur auf Beaming infolge des Doppler-Effekts bei entsprechender Orientierung zurückgeführt werden, sondern auch gravitomagnetische Effekte. Eine gute Darstellung dieses Modells findet sich bei R.K. Williams 2002/2003, astro-ph/0203421 sowie in Anwendung auf die Quasare 3C 279 und 3C 273, astro-ph/0306135.

Blandford-Znajek-Mechanismus

Ein weiterer Prozess, der dem rotierenden Schwarzen Loch Rotationsenergie zu entziehen vermag, ist der so genannte Blandford-Znajek-Mechanismus. Im Unterschied zum Penrose-Prozess sind hier elektrische und vor allem magnetische Felder beteiligt. Die Extraktion der Rotationsenergie geschieht auf elektromagnetischem Wege.

Motor aktiver Galaxien

Penrose-Prozess und Blandford-Znajek-Mechanismus sind besonders wichtig für die Physik der AGN und das AGN-Paradigma, wonach die enorme Leuchtkraft aus der Akkretion von interstellarem Gas und Sternen auf ein supermassereiches Schwarzes Loch erzeugt wird ('AGN-Motor').

Das Pentaquark ist ein völlig neues Quarksystem, das aus fünf Quarks besteht.

Vorlage aus der Theorie

Prinzipiell gestattet das Standardmodell der Teilchenphysik im Rahmen der Quantenchromodynamik (QCD) Teilchen, die aus mehr als nur zwei Quarks (Mesonen) oder drei Quarks (Baryonen) zusammengesetzt sind. Allerdings beobachteten die Experimentatoren jahrzehntelang nicht derartige 'Quarkbälle'.
Auf theoretischer Seite entwickelten Diakonov, Petrov & Polyakov 1997 im Rahmen des chiralen Soliton-Modells weitere Realisierungen von Teilchen (Papier hep-ph/9703373). Wesentlicher Ausfluss dieser Überlegungen war ein Schema von zehn baryonischen Teilchen (Anti-Dekuplett). Darunter befand sich ein Teilchens namens Z⁺(1530), einem Pentaquark.

Fund im Experiment: Θ⁺

Motiviert durch diese theoretische Grundlage gelang schließlich im Jahr 2003 der japanischen LEPS-Kollaboration der Nachweis dieses Pentaquarks (Papier von Nakano et al., hep-ex/0301020). LEPS (Laser Electron Photon beamline at SPring-8) produziert Photonen mit GeV-Energien (!) aus der inversen Compton-Streuung von UV-Laserphotonen an hochrelativistischen Elektronen der Energie 8 GeV. Die Elektronen erreichen diese Energien bzw. Geschwindigkeiten nach mehrmaligem Durchlaufen der ringförmigen Beschleunigungsstrecke im Teilchenbeschleuniger. Beim nachgewiesenen Pentaquark handelt es sich um das leichteste Pentaquark, das seither nicht Z⁺, sondern Θ⁺ heißt. Im Experiment ging man so vor, dass man Gammastrahlen, also noch energiereichere, elektromagnetische Strahlung als Röntgenstrahlung, auf ein Kohlenstoff-Target (C-12) schoss. Ein Zerfallskanal dieser Reaktion besteht darin, dass die Gammastrahlen auf Neutronen (engl. photo-production from neutron) in den Atomkernen des Kohlenstoffs treffen und dabei Kaonen (K-Mesonen), eine bestimmte Form von Mesonen, erzeugen. In Vorwärtsrichtung, also wenn man von vorne in den Teilchenstrahl schaut, beobachteten die Experimentatoren eine scharfe, baryonische Resonanz bei 1.54 GeV. Eine Resonanz bezeichnet in diesem Zusammenhang einen molekülartigen Verbund aus Meson und Baryon. Dies wurde als ein neues Teilchen, das Pentaquark interpretiert. Es hat als Quarkgehalt zwei up-Quarks, zwei down-Quarks und ein anti-strange-Quark. Die Quantenzahl Seltsamkeit ist also +1. Dieses Quarkkonglomerat zerfällt schließlich nach kurzer Zeit in ein Neutron (udd) und ein positiv geladenes Kaon (u anti-s).

noch eine Pentaquark gefunden: Ξ(1860)

Am CERN wurde bei der NA49-Kollaboration Evidenz für ein weiteres Pentaquark namens Ξ(1860) gefunden (Alt et al. 2003, hep-ex/0310014). Es soll aus zwei d-Quarks, zwei s-Quarks und einem anti-u-Quark bestehen. Diese Entdeckung wurde kritisch hinterfragt (Fischer & Wenig 2004, hep-ex/0401014). Am US-amerikanischen Jefferson Lab konnten in Experimenten, die denjenigen der japanischen LEPS-Kollaboration vergleichbar waren, keine Pentaquarks hergestellt werden. Die Erforschung dieses neuen Gebiets der Teilchenphysik bleibt deshalb spannend.

Tetraquark auch gefunden: X(3872)

Wenige Monate nach der Entdeckung des ersten Pentaquarks gelang der Belle-Kollaboration um Choi et al. der Nachweis eines Tetraquarks (Papier hep-ex/0309032). Diese Teilchen bestehen aus vier Quarks. Der spezielle Name dieser baryonischen Resonanz ist X(3872).

Dies ist ein typischer Begriff aus der Himmelsmechanik, einer klassischen Disziplin der Astronomie. Das Periastron (grch. peri: ringsum; grch. astron: Stern) ist der nächste Punkt auf einer Bahn um einen Stern.
Zur Beschreibung dieser Bewegung kommen die Kepler-Gesetze zum Einsatz, die mit der Newtonschen Gravitation mathematisch hergeleitet werden können. Bei engen Bewegungen um kompakte Objekte muss die Einsteinsche Gravitation, d.h. die Allgemeine Relativitätstheorie verwendet werden.
Zusammen mit dem Begriff Apastron ist Periastron besonders bei der Diskussion von Doppel- und Mehrfachsternsystemen gebräuchlich.

Dies ist ein typischer Begriff aus der Himmelsmechanik, einer klassischen Disziplin der Astronomie. Das Perigäum (grch. peri: ringsum; grch. geo: Erde) ist der nächste Punkt auf einer Bahn um die Erde.
Zur Beschreibung dieser Bewegung kommen die Kepler-Gesetze zum Einsatz, die mit der Newtonschen Gravitation mathematisch hergeleitet werden können. Bei engen Bewegungen um kompakte Objekte oder auch bei sehr präzise bestimmten Bahnen um die Erde (z.B. bei der Satellitennavigation oder GPS) muss die Einsteinsche Gravitation, d.h. die Allgemeine Relativitätstheorie verwendet werden.
Siehe auch Apogäum.

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© Andreas Müller, August 2007

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