Astro-Lexikon F 3

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Der Fernparallelismus ist eine Gravitationstheorie, die Albert Einstein 1928 eingeführt hat. Er legt mit dieser Theorie eine vollkommen andere Sicht auf die Schwerkraft vor, als in seiner 1916 publizierten Allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Nicht die Krümmung einer Raumzeit ist verantwortlich für die Gravitation, sondern deren Torsion. Im Fernparallelismus verschwindet der Torsions-Tensor nicht - in der ART hingegen schon.

Einsteins Motivation

Einstein zielte mit diesem völlig neuen Ansatz auf eine Unifikation von Gravitation und Elektromagnetismus. Er wählte jedoch dabei eine gänzlich andere Konzeption, als in der etwa zeitgleich entwickelten Kaluza-Klein-Theorie. Randbemerkung: Auch der deutsche Mathematiker Herman Weyl hatte eine solche Vereinheitlichung ab 1918 versucht, jedoch mit einem anderen Ansatz: er führte ein neues Kovektorfeld ein, das er mit dem elektromagnetischen Potential A identifizierte. Dieser Ansatz modifiziert auch den Levi-Civita-Zusammenhang der ART um einen neuen Term zum so genannten Weyl-Zusammenhang in der Weylschen Theorie.

Ursprung der Bezeichnung 'Fernparallelismus'

Fernparallelismus (engl. teleparallelism, distance parallelism) oder fernparallele Gravitation (engl. teleparallel gravity, TP gravity) ist eine Name, den Einstein selbst einführte, um seine neue Theorie zu bezeichnen. Die Schwerkraft steckt nun vollends in der Torsion, und die Raumzeit ist flach, weist also keinerlei Krümmung auf. Einstein konnte zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen zwei beliebige Vektoren absolut parallel zueinander sind. Das gab dieser Theorie den Namen.

Grundidee im Fernparallelismus

Die Grundzüge des Fernparallelismus lassen sich am besten in der Gegenüberstellung zu Einsteins ART begreifen: In der ART ist ein Tensorfeld, der metrische Tensor, die zentrale Grundgröße, der durch ein Linienelement charakterisiert wird. Diese Metrik ist im Allgemeinen bestimmt durch 10 unabhängige Komponenten. Im metrischen Tensor steckt die gesamte Struktur und Dynamik der Raumzeit. Durch Berechnung der Christoffel-Symbole und des Riemannschen Krümmungstensors kommt man zu den Feldgleichungen in Einsteins ART.
Die zentrale Grundgröße im Fernparallelismus ist hingegen ein Tetradenfeld, das sich im Allgemeinen aus 16 unabhängigen Komponenten zusammensetzt. Die Torsion übernimmt die Rolle einer Gravitationskraft.

zwei Formulierungen der Gravitation

Trotz dieser Unterschiede im Ansatz kann gezeigt werden, dass ART und Fernparallelismus im Grunde äquivalente Formulierungen der Einsteinschen Gravitation sind - sozusagen zwei Seiten derselben Medaille (Gronwald & Hehl 1996, ePrint unter gr-qc/9602013). Der Energie-Impuls-Tensor ist in der ART die Quelle der Krümmung und in der fernparallelen Gravitation die Quelle für Torsion.
Dementsprechend ist es möglich Analoga zur Schwarzschild-Lösung, Kerr-Lösung und FLRW-Lösung der ART in der Theorie des Fernparallelismus zu finden (Pereira, Vergas & Zhang, CQG 2001; Nashed Gamal 2002; Sharif & Amir, Gen. Rel. Grav. 2006).

Zusammenhang

Dadurch dass nun die Torsion endlich ist, wird der Levi-Civita-Zusammenhang ersetzt durch den Weitzenböck-Zusammenhang. Dieser neue Zusammenhang im Fernparallelismus setzt sich zusammen aus dem gewohnten Levi-Civita-Zusammenhang der ART und dem Verdrehungstensor (engl. contortion tensor; nicht zu verwechseln mit der Spannungs- oder Verzerrungstensor in der Kontinuums- und Elastomechanik).

Aktuelle Entwicklungen

Der Fernparallelismus kann als Feldtheorie mit einem Wirkungsfunktional assoziiert werden. Mittlerweile ist bekannt, dass nur ein spezielles Wirkungsfunktional den Fernparallelismus in die ART überführen lässt. Gravitationstheoretiker erforschen derzeit viele Varianten des Fernparallelismus, die nicht in Einsteins Theorie überführt werden können. Sie hoffen dadurch neue Einsichten in die Natur der Gravitation zu bekommen.

Die Feynman-Diagramme oder Feynman-Graphen sind von enormer Relevanz in der Teilchenphysik und Quantenfeldtheorie. Der theoretische Physiker, Nobelpreisträger und geniale Kommunikator Richard P. Feynman (1918 - 1988) erfand sie im Rahmen der Entwicklung der Quantenelektrodynamik. Sie illustrieren Teilchenwechselwirkungen und sind daher ein einfaches Modell, um sich die Kräfte zwischen Teilchen zu veranschaulichen. Feynman-Diagramme stellen gewissermaßen Weg-Zeit-Diagramme dar: die Zeitachse zeigt senkrecht nach oben, die Raumachse waagerecht nach rechts. Weil diese Achsen Konvention sind, werden sie fast ausschließlich weggelassen.

So liest man ein Feynman-Diagramm

Die Teilchen werden als Linien dargestellt, die sich an Wechselwirkungspunkten (Vertices, Einzahl: Vertex) schneiden. Die Wechselwirkung findet dann an einem ausgezeichneten Raum-Zeit- oder Weltpunkt statt. Man hat zur Darstellung der Teilchen folgende Vereinbarungen getroffen:

• Durchgezogene, gerade Pfeile kennzeichnen alle Fermionen. Ungerade Linien repräsentieren die Bosonen (Ausnahme ist das Higgs-Teilchen, s.u.). Die Pfeilrichtung bei Antiteilchen ist umgekehrt zu den normalen Teilchen, weil sich Antiteilchen 'rückwärts in der Zeit bewegen'.
• Wellenförmige Linien verwendet man für das Photon der Quantenelektrodynamik und die Weakonen der schwachen Wechselwirkung.
• Schraubenförmige Linien verwendet man für die Gluonen der Quantenchromodynamik (QCD).
• Gestrichelte Linien sind normalerweise dem Higgs-Teilchen vorbehalten.

Rätselhafte Hieroglyphen am Feynman-Graphen

Diese Konventionen werden nicht immer so rigide eingehalten. In der Regel stehen die Teilchensorten immer an den Linien. Jedes Teilchen hat ein internationales Symbol: γ für das Photon; g für die Gluonen; W⁺, W^- und Z für eines der Weakonen, e^- für das Elektron; e⁺ für das Positron, ν für die Neutrinos (meist mit Index für eine der drei Leptonenfamilien); l für ein Lepton; q für ein Quark; p für ein Proton; n für ein Neutron; K für ein Kaon; π für ein Pion; χ für das Neutralino uvm.

Vertices & Wirkungsquerschnitte

Die Feynman-Graphen bestehen aus Grundelementen, die zu verschiedenen Wechselwirkungsszenarien zusammengesetzt werden können. So existieren Fermion-Boson- und Boson-Boson-Vertex. Mindestens zwei dieser Vertizes konstituieren zu einem Wechselwirkungsereignis. Der Austausch eines virtuellen Bosons, wie den Eichbosonen irgendeiner der vier Wechselwirkungen, wird durch den Propagator dargestellt. Die Teilchenphysiker sind immer an Wahrscheinlichkeitsamplituden interessiert, deren Quadrate den Wirkungsquerschnitt bilden. Letzterer steht für die Wahrscheinlichkeit des gesamten Wechselwirkungsprozesses. Die Amplituden sind proportional zur Kopplung und zum Propagator, der durch eine Greensche Funktion dargestellt werden kann. Dieser Formalismus führt schnell auf die bekannten Streuformeln für Rutherford-Streuung und Mott-Streuung.

Endlich mal ein Beispiel

Die Abbildung rechts zeigt das Feynman-Diagramm des β^--Zerfalls auf der Quark-Ebene: Durch den Austausch eines negativen W-Bosons wandelt sich ein d-Quark im Neutron zu einem u-Quark um. Das ändert den Quarkgehalt dieses Baryons und führt dazu, dass das Neutron (udd) im Atomkern zu einem Proton wird (uud). Da bestimmte Quantenzahlen, wie z.B. elektrische Ladung, Leptonenzahl sowie Energie und Impuls, bei diesem Vorgang erhalten sein müssen, bilden sich im Beta-Zerfall auch neue Teilchen: ein Elektron (β-Strahlen) und ein Anti-Elektron-Neutrino. Auf diese Art und Weise lassen sich sämtliche Teilchenreaktionen darstellen.

Strahlungskorrekturen

Es stellt sich heraus, dass es auch Feynman-Diagramme höherer Ordnung gibt. Diese weisen so genannte Strahlungskorrekturen auf, die man wie folgt klassifiziert:

• photonische Strahlungskorrekturen z.B. Bremsstrahlung,
• nicht-photonische Strahlungskorrekturen mit Vertex- oder Propagator-Korrekturen (Schleifen oder loops), die von virtuellen Teilchen- und Teilchenpaaren herrühren,
• und schließlich QCD-Strahlungskorrekturen, bei denen Vertexkorrekturen und Korrekturen durch die Abstrahlung von Gluonen eingehen.

Noch ein komplizierteres Beispiel

Die zweite Abbildung zeigt gerade einen Feynman-Graph höherer Ordnung mit einer Schleife aus einem Elektron-Positron-Paar.
Alle Strahlungskorrekturen bewirken, dass der Wirkungsquerschnitt, also die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen der Teilchenwechselwirkung, verändert wird. Die Teilchenphysiker sind gerade an diesen Wirkungsquerschnitten interessiert und berechnen sie für eine Vielzahl verschiedener Feynman-Graphen.

Der eigentliche Clou

Die Feynman-Diagramme sind jedoch weit mehr als eine anschauliche Darstellung von Teilchenprozessen. Die Teilchenphysiker können sie Bausteinen gleich in Fragmente zerlegen, die jeweils eindeutig mit mathematischen Gleichungen verknüpft sind. Auf diese Weise kann man aus vielen Feynman-Diagrammen niedrigster bis höherer Ordnung Gleichungen ableiten, die die Wirkungsquerschnitte liefern. Das ist das eigentlich Geniale an Feynman-Diagrammen!

Die Abkürzung FFO steht für den free-falling observer, einen frei fallenden Beobachter. Diese Beobachter folgen den zeitartigen Geodäten der im Allgemeinen gekrümmten Raumzeit.

Frei fallen? Klingt gefährlich!

Auf einen frei fallenden Beobachter oder ein frei fallendes Objekt wirken keine äußeren Kräfte. In der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) sagt man: das Objekt bewege sich geodätisch oder kräftefrei. Der einfachste Fall ist die flache Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie, die so genannte Minkowski-Metrik. Ein FFO bewegt sich hier gleichförmig geradlinig, d.h. linear auf einer Geraden. In den gekrümmten Raumzeiten der ART wird das komplizierter: Der FFO bewegt sich dann auf einer 'krummen Bahn', aber kräftefrei.

Werkzeug für Einsteins Theorie

Die Untersuchung von Bewegungen von Objekten im Rahmen der ART erfordert in der Regel die Wahl eines Koordinatensystems und eines Beobachters. Als Beobachter kommen FIDOs und ZAMOs in Frage. Manchmal - zum Beispiel am Ereignishorizont von Schwarzen Löchern - zeigen FIDOs pathologisches Verhalten, d.h. sie erweisen sich als ungeeignet, um die Physik zu beschreiben. Dann wählt man FFOs. Der Übergang auf neue Beobachter wird dabei mit Lorentz-Transformationen vollzogen.

Das Kürzel FIDO steht für den fiducial observer, einem Beobachter, dem man trauen kann. Man muss sich vorstellen, dass die Raumzeit mit einer Schar von Beobachtern, den FIDOs, besetzt ist, die an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit Experimente durchführen können. Jeder FIDO hat seine eigene Uhr, deren Gangart gegenüber Unendlich durch die Rotverschiebung bestimmt ist.

Ein Problem in der Kosmologie, das durch die Inflation gelöst wird. Unter dem Eintrag Inflation werden Problem und Auflösung erläutert.

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© Andreas Müller, August 2007

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